Funktionen, die stetig sind

Question

Hallo, wir haben in der Vorlesung das Thema (gleichmäßige) Stetigkeit.

Könnte mir jemand zwei stetige nicht konstante Funktionen IR → IR angeben, von denen die eine gleichmäßig stetig ist und die andere aber nicht.

Ich bin über eure Hilfe sehr dankbar.

LG

Answer 1

Hallo,

betrachte etwa \( f:\, \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \mapsto x \) und \(g: \, \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \mapsto x^2 \)

Comments

Vielen Dank, könntest du mir eventuell noch begründen, warum x stetig und x^2 gleichmäßig stetig ist?

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Nicht \( g \) ist gleichmäßig stetig, sondern \( f\), denn:

Sei \( \varepsilon > 0 \). Setze \( \delta\coloneqq\varepsilon > 0 \). Dann gilt für alle \( x,y \in \mathbb{R}\) mit \( |x-y| \leq \delta\)

\(  |f(x) - f(y)| = |x - y| \leq \delta = \varepsilon \).

Eine Begründung, wieso \(g\) nicht gleichmäßig stetig ist, findest du hier unter 5.2.

Answer 2

Hallo

die einfachsten 2 , f(x)=a*x+b  von R->R gleichmäßig stetig, und f(x)=ax^2 stetig aber nicht auf R gleichmäßig stetig, zur Illustration siehe Wikipedia

https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichmäßige_Stetigkeit

lul

Comments

danke schön:)