Dein v sollte etwa so aussehen, wie auf dem Bild unten. (schräger blauer Pfeil)
Allerdings hattest du die x-Achse etwas ungünstig gewählt. Nimm jeweils nicht gerade 45° und verkürze die Einheit in x-Richtung (Tiefenwirkung)
Die Einheiten auf der y-Achse darfst du nicht manipulieren. Sie müssen gleich sein wie in z-Richtung.
Hier nun die Winkel, die du zu berechnen hast:
Winkel zwischen Vektoren berechnet man am einfachsten mit dem Skalarprodukt.
Denn a*b = |a|*|b|*cos(w)
Nun nimm für a den Vektor v und für b der Reihe nach (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1).
x-Achse:
(2/1/4)*(1/0/0) = √(4+1+16)*cos w1
cos w1 = 2 / √21. w1 = 64.12°
(2/1/4)*(0/1/0) = √(4+1+16)*cos w2
cos w2 = 1/√21. w2 = 77.40°
(2/1/4)*(0/0/1) = √(4+1+16)*cos w3
cos w3 = 4/√21 . w3 = 29.21°
Allgemein v = (a,b,c)
(a/b/c)*(1/0/0) = √(a^2 + b^2 + c^2)*cos w1
cos w1 = a / √(a^2 + b^2 + c^2)
(a|b|c)*(0/1/0) = √(a^2 + b^2 + c^2)*cos w2
cos w2 = b/(a^2 + b^2 + c^2)
(a/b/c)*(0/0/1) = √(a^2 + b^2 + c^2)*cos w3
cos w3 = c/(a^2 + b^2 + c^2)
(cos w1)^2 + (cos w2)^2 + (cos w3)^2
= a^2/ (a^2 + b^2 + c^2) + b^2/(a^2 + b^2 + c^2) + c^2/(a^2 + b^2 + c^2)
=(a^2 + b^2 + c^2)/(a^2 + b^2 + c^2) = 1 qed.
