Wahrscheinlichkeit für einen Wortblock berechnen

Question

Aufgabe:

a.)Jemand tippt zufällig etwas in die Schreibmaschine, Text mit n=50 Wörtern (26 Buchstaben, keiner wird bevorzugt). Wir betrachten Blöcke mit der Länge k=5, es können 10 dieser Fünferblöcke gebildet werden. Wie groß ist die Wk, dass mindestens einmal das Wort FARBE in diesen 10 Blöcken vorkommt

b.)Begründen Sie mit a.), es wird ein beliebig langer Text geschrieben n--> unendlich, dann geht die Wk, dass sich irgendwo "die gesammelten Werke von Shakespear" ohne Unterbrechung wiederfinden bei n--> unendlich gegen 1. (Auch wenn das Alphabet 1000 Buchstaben hätte, wenn man den Zufall beliebig lange Zeit gibt, wird mit Wk 1 jeder beliebig lange Text als Block auftauchen)

Problem/Ansatz:

a.) Wk für FARBE im Block: P=(1/26)^5 → Wk, FARBE nicht im Block: P=1-(1/26)^5 → Wk, FARBE kommt in keinen der 10 Blöcke vor: P=(1-(1/26)^5)^10 → Wk, FARBE kommt in mindestens einen Block vor: P=1-(1-(1/26)^5)^10=0.00000084

Wie kann ich b beweisen?

Comments

Das "Infinite-Monkey-Theorem".

Answer 1

Völlig richtig. Für 10 Blöcke sieht das also wie du sagst aus

1 - (1 - (1/26)^5)^10 = 1 / 1188127

Wnn du jetzt aber einen unendlich langen Text hast hast du auch unendlich viele 5er-Blöcke und nicht nur 10 also dann hast du es wie folgt

lim (x --> ∞) 1 - (1 - (1/26)^5)^x

Kannst du davon jetzt den Grenzwert bilden?

Dabei können die Blöcke dann auch größer sein und nicht nur aus 5 zeichen bestehen. Solange man blocke aus endlich vielen Zeichen hat hat man auf jeden Fall eine unendliche Anzahl an blöcken.