Bestimmen Sie Inneres, Abschluss und Rand der folgenden Teilmengen von (ℝ2,\|·\|2) .

Question

Aufgabe:

Thema: Offenheit, Abgeschlossenheit, Vollständigkeit

(a) Bestimmen Sie Inneres, Abschluss und Rand der folgenden Teilmengen von $\left(\mathbb{R}^{2},\|\cdot\|_{2}\right)$.

(i) $M_{1}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x>y\right\}$,
(ii) $M_{2}:=\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}$.

(b) Seien $(X,\|\cdot\|)$ ein normierter Vektorraum und $A, B \subseteq X$. Man definiert die MinkowskiSumme von $A$ und $B$ durch
$A+B=\{x \in X \mid \exists a \in A, b \in B: x=a+b\} .$

(i) Sei $B$ offen. Zeigen Sie, dass $A+B$ offen ist.
(ii) Zeigen Sie, dass $\bar{A}+\bar{B} \subseteq \overline{A+B}$.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgabe? …

Answer 1

Zu (b):

(i): Zu $a\in A$ sei $f_a:X\rightarrow X$ definiert durch $f_a(x)=x-a$.

$f_a$ ist stetig, daher sind die Urbilder offener Mengen unter $f_a$

offen. Wir haben $f_a^{-1}(B)=\{x\in X: \; f_a(x)\in B\}=\{a\}+B$.

$\{a\}+B$ ist also offen für $a\in A$, folglich ist

$A+B=\bigcup_{a\in A}(\{a\}+B)$ offen.

(ii): Seien $a\in \overline{A},\ b\in \overline{B}$.

Dann gibt es Folgen

$(a_n)$ mit $a_n\in A$ und $\lim a_n=a$, sowie

$(b_n)$ mit $b_n\in B$ und $\lim b_n=b$.

Es ist dann $a+b=\lim a_n + \lim b_n=\lim (a_n+b_n)$, wobei

$a_n+b_n\in A+B$ gilt, folglich ist $a+b\in \overline {A+B}$.

Answer 2

Hallo,

zu a) i):

Offenbar ist $M_1$ offen, also ist $M_1^{\circ} = M_1$.

Weiter ist $\partial{M_1} = \lbrace{(x,y)\in\mathbb{R^2} : x = y \rbrace}$ und damit $\bar{M_1} = M_1^{\circ} \cup \partial{M_1} = \lbrace{(x,y)\in\mathbb{R^2} : x \geq y \rbrace}$