Zeigen Sie, dass die Höhengeraden (AA*, BB* und CC*) des Dreiecks ABC gleichzeitig die

Question

Aufgabe:

Sei ABC ein spitzwinkliges Dreieck. Sei A* der von A verschiedene Schnittpunkt der Lotgeraden von A auf BC und des Umkreises von Dreieck ABC, sei B* der von B verschiedene Schnittpunkt der Lotgeraden von B auf CA und des Umkreises von Dreieck ABC und sei C* der von C verschiedene Schnittpunkt der Lotgeraden von C auf AB und des Umkreises von Dreiecke ABC.

Zeigen Sie, dass die Höhengeraden (AA*, BB* und CC*) des Dreiecks ABC gleichzeitig die
Winkelhalbierenden des Dreiecks A* B*C* sind und folgern Sie, dass sich die Höhengeraden im Dreieck ABC in einem Punkt schneiden

Answer 1

Der Winkel C*CB ist 90°-β, der Winkel BAA* ebenfalls (es sind jeweils Innenwinkel eines rechtwinkligen Teildreiecks, in dem β der andere spitze Winkel ist).

C*B*B ist wie C*CB ein Peripheriewinkel über dem Bogen BC*.

BB*A* ist wie BAA* ein Peripheriewinkel über dem Bogen A*B.

Damit sind C*B*B und BB*A gleich große Teilwinkel des Winkels C*B*A*, welcher also durch BB* halbiert wird.