Verifiziere, dass R durch (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b') und (a,b) * (a',b') = (aa',bb') zu einem Ring wird.

Question

Seien R₁ ,R₂ zwei Ringe. Wir definieren auf der Produktmenge R=R₁ x R₂ zwei Verknüpfungen durch

(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b') und (a,b) * (a',b') = (aa',bb').

Verifizieren Sie, dass R dadurch zu einem Ring wird. Handelt es sich dabei um einen Körper, falls R ₁ , R₂ Körper sind?

Habe leider noch keine Idee dazu. Mir fallen dazu nur Kommutativgesetz und Assoziativgesetz ein, aber vielleicht ist das auch völlig falsch. Wie kann ich so eine Aufgabe lösen?

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aus Duplikat:

(1) Zeigen Sie dass R × S mit den koordinatenweise denierten Verknüpfungen
+ (R × S) × (R × S) → R × S; (r₁; s₁) + (r₂; s₂) = (r₁ + r₂; s₁ + s₂);
·: (R × S) × (R × S) → R × S; (r₁; s₁)(r₂; s₂) = (r₁r₂; s₁s₂)
einen Ring bildet.

(2) Zeigen Sie: R × S ist kommutativ genau dann, wenn R und S beide kommutativ
sind. Sei zusätzlich R ≠ {0} und S ≠ {0} vorausgesetzt.

(3) Zeigen Sie: R × S besitzt ein Einselement genau dann, wenn R und S beide ein
Einselement haben.

(4) Kann R × S jemals ein Körper sein?

Comments

Welche Bedingungen musst du denn z.B. bei der 1) nachprüfen?

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Nun ich denke mal dass es dort einen Tippfehler gibt. Es heißt definierten, und nicht denierten. Also wir sollen nur nachweisen, dass diese Verknüpfung einen Ring bildet. Aber ich wüsste jetzt auch nicht wie man dass anstellen soll.

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Was ist die Definition eines Rings?

Wie rechnet man nach, dass etwas ein Ring ist?

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Der Name Ring bezieht sich auf einen organisierten Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Ringbegriffen um unterschiedliche Kategorien.

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Im nächsten Absatz im Wikipediaartikel steht die richtige Defintion.

Oder noch besser im Vorlesungsskript.


Wie willst du denn eine Aufgabe bearbeiten ohne auch nur annähernd die Begriffe daraus zu kennen. Da ist das Schitern doch schon vorprogammiert. und selbst wenn dir jemand eine Musterlösung schreibt wirst du nicht in der lage sein diese zu verstehen.

Der Artikel hier http://www.mathematik.uni-mainz.de/Members/lehn/le/uebungsblatt bietet ein paar Ideen für eine gute rbeitshaltung bzgl. Mathematik-Übungsblättern.

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Ok, danke. Die Seite klingt interessant.

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Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/159747/verknupfungen-nach-kommutativen-ring-koerper-untersuchen

Answer 1

diese Aufgabe löst du durch nachrechnen der Eigenschaften eines Rings also

1) (R1 x R2, +) ist eine abelsche Gruppe

2) (R1 x R2, *) ist eine Halbgruppe,

3) Es gelten die Distributivgesetze

Dazu verwendest du, dass (R1,+,*) und (R2,+,*) jeweils Ringe sind,

Die Überprüfung mit der Aussage für Körper machst du ebenfalls mit den EIgenschaften, wobei du hier nur noch ein paar zusätzliche überprufen musst (mach dir klar wodurch sich Körper und RInge unterscheiden).

Gruß

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Damit sollte ich erst einmal weiterkommen.