Berechnen Sie die Adjazenzmatrix und die Eigenwerte der Adjazenzmatrix des Graphen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Adjazenzmatrix und die Eigenwerte der Adjazenzmatrix des Graphen
G:

Problem/Ansatz:

Bei der Matrix komme ich auf:

\( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \)

Aber irgendwie kann ich mir nicht vorstellen da jetzt 6 Eigenwerte für zu berechnen beim ersten komme ich auf

\( λ_1 = 2 \) aber beim zweiten schon auf

\( λ_2 = 1/2 (-1 - \sqrt{5}) \) irgendwie kommt mir das zu aufwändig vor.

Vor allem mit dem Hinweis: Für eine Matrix \( M \) in Blockform lässt sich die Determinante wie folgt berechnen, falls \( A, B, C, D \) wieder quadratische Matrizen sind und es gilt \( D C=C D \) dann:

\( \operatorname{det}(M)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\operatorname{det}(A D-B C) \)
Denken Sie dabei danach an die 3.binomische Formel.|

Comments

Deine Adjazenzmatrix ist falsch, z.B. ist sie nicht symmetrisch

und zwischen 4 und 6 gibt es keine Kante.

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Oh ja ... Wald vor lauter Bäumen und so. Danke, dann macht auch der Hinweis Sinn

Answer 1

Könnte es sein daß die Adjazenzmatrix lauten müßte auf

0, 0, 0, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 1, 1, 0,
1, 0, 1, 0, 0, 0,
0, 1, 1, 0, 0, 0,
1, 1, 0, 0, 0, 0,

$$ \lambda^{6} - 6 \; \lambda^{4} + 9 \; \lambda^{2} - 4 = 0 $$

\(Eigenwerte \, :=  \, \left\{ -2, -1, 1, 2 \right\} \)

Zum Rechnen guckst Du

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Comments

Wie kriegt man die Nullstellen des Polynoms raus? Ohne Rechner natürlich ;)
Die -4 steht mir komplett im Weg...

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so

https://www.mathelounge.de/943034/eigenwerte-einer-6x6-matrix-mit-blockform-hinweis#c943080

Answer 2

Zum Vergleich:

Mein charakteristisches Polynom lautet

\(\chi(X)=(X-1)^2(X+1)^2(X-2)(X+2)\quad \) (Ohne Gewähr ;-)).

Comments

Stimmt, danke.

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Wie kriegt man die Nullstellen des Polynoms raus? Ohne Rechner natürlich ;)
Die -4 steht mir komplett im Weg...