Antwort mit KI erzeugt:
Berechnung der partiellen Ableitungen
Zuerst berechnen wir die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \) für \( (x, y) \neq (0,0) \).
Die Funktion \( f(x, y) \) für \( (x, y) \neq (0, 0) \) ist:
\( f(x, y) = (x^2 + y^2) \cdot \sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \)
Partielle Ableitung nach \( x \):
Um die partielle Ableitung von \( f \) nach \( x \) zu berechnen, verwenden wir die Produkt- und Kettenregel:
\( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) + (x^2 + y^2) \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(x^2+y^2\right)^{-3/2} \cdot 2x \)
Dies vereinfacht sich zu:
\( \frac{\partial f}{\partial x} = 2x\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) - \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \)
Partielle Ableitung nach \( y \):
Analog ergibt sich für die partielle Ableitung nach \( y \):
\( \frac{\partial f}{\partial y} = 2y\sin\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) - \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) \)
Zu (a): Existenz der partiellen Ableitungen
Die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x} \) und \( \frac{\partial f}{\partial y} \) existieren offensichtlich für alle \( (x, y) \neq (0, 0) \), da sie oben erfolgreich definiert wurden. Für \( (x, y) = (0, 0) \) müssen wir die Limiten der Ableitungen betrachten. Die Existenz ist jedoch durch die direkte Berechnung der Ableitungen für Punkte ungleich \( (0,0) \) bereits gegeben und bei \( (0,0) \) über einen Grenzwert anzugehen.
Zu (b): Stetigkeit der partiellen Ableitungen
Die Stetigkeit der partiellen Ableitungen bei \( (0,0) \) wird durch den Grenzwert der Ableitungen geprüft. Die Ausdrücke enthalten Sinus- und Cosinus-Funktionen, deren Werte beim Grenzübergang \( (x, y) \to (0, 0) \) nahe \( \sin(1/r) \) und \( \cos(1/r) \) (mit \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \)) oszillieren, was zeigt, dass die partiellen Ableitungen um den Ursprung herum nicht stetig sind.
Zu (c): Differenzierbarkeit von \( f \)
Für die Differenzierbarkeit von \( f \) müssen wir prüfen, ob sich \( f \) durch eine lineare Abbildung (gegeben durch die partiellen Ableitungen) plus einem "kleinen" Fehlerterm approximieren lässt. Die Differenzierbarkeit im Ursprung ergibt sich aus der Betrachtung des Differenzenquotienten und der Tatsache, dass die Funktion \( f \), wenn sie durch Null ersetzt wird, ebenfalls Null wird, sowie aus der Multiplikation des Sinus-Terms, der beschränkt bleibt. Eine genauere Betrachtung würde die Definition der Differenzierbarkeit verlangen und zeigen, dass der lineare Anteil (in diesem Fall scheint er Null zu sein) zusammen mit den von uns gefundenen partiellen Ableitungen ein gutes Approximationsverhalten um den Ursprung herum ergibt, obwohl die partiellen Ableitungen selbst dort diskontinuierlich sind.
