Zeige, dass jeder Endomorphismus f diagonalisierbar ist.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass jeder Endomorphismus f eines endlich.- dimensionalen Vektorraums, wo f³= f gilt, diagonalisierbar ist.

Problem/Ansatz:

Soll ich nun zeigen, dass gilt;  das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren & für alle Eigenwerte von f sind algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit?

Und wenn ja, wie kann ich das am besten zeigen?

Comments

Über welchem Körper wird gearbeitet?

Answer 1

Ich nehme mal an, dass ein Körper mit Charakteristik \(\neq 2\) vorliegt.

Da \(f\) Nullstelle von \(X(X+1)(X-1)\) ist, muss das Minimalpolynom

ein Teiler von \(X(X+1)(X-1)\) sein, hat also paarweise verschiedene

Linearfaktoren und ein wichtiger Satz sagt uns, dass dann eine

Basis aus Eigenvektoren existiert und folglich \(f\) diagonalisierbar ist.

Im Charakteristik-2-Fall hat man z.B. folgendes Gegenbeispiel:

\(f \hat{=} \left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\).