Warum soll ich die Matrix transponieren?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix
$A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \\ 5 & 0 & 3 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4 \times 3}$
(a) Bestimmen Sie eine Basis des Spaltenraums von $A$ und ergänzen Sie diese zu einer Basis $\mathcal{B}$ von $\mathbb{R}^{4}$, indem Sie geeignete Einheitsvektoren $e_{i}$ der kanonischen Basis $\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}\right)$ von $\mathbb{R}^{4}$ hinzufügen.

In der Musterlösung lösen sie es, indem sie die Matrix transponiert $a^T$ und und in Zeilenstufenform bringen.

dann haben wir als Basis (-1,3,1,5) und (0,1,0,2) und e1,e2 mit e1=(0,0,1,0), e2=(0,0,0,1)

Problem/Ansatz:

Warum soll ich die Matrix transponieren ? was passiert wenn ich die nicht transponieren und dann in Zeilenstufenform bringen?

Answer 1

Aloha :)

Zur Berechnung einer Basis des Spaltenraums musst du alle linearen Abhängigkeiten aus den Spaltenvektoren herausrechnen. Das kannst du z.B. mit elementaren Spaltenoperationen machen. Da diese aber aus irgendwelchen Gründen nicht sehr beliebt oder bekannt sind, transponiert man die Matrix, sodass aus den Spaltenvektoren Zeilenvektoren werden. Dann kann man die gewohnten elementaren Zeilenoperationen verwenden, um eine Basis der ursprünglichen Spaltenvektoren zu bestimmen.

Wenn du die Matrix nicht transponierst, bestimmst du eine Basis des Zeilenraums.

Comments

Wenn wir k Vektoren haben und überprüfen wollen, ob die unabhängig sind, wir pruefen (A | 0) ohne die Transpontion oder?, gibt es andere Fälle wo ich die Transpontion verwenden soll ?