Polynomring darstellen als Produkt mit Nullstellen und weiterem Polynom

Question

Sei R ein kommutativer, nullteilerfreier, unitärer Ring. Weiter sei 0 ≠ f(X) ∈ R[X] ein Polynom mit a₁, ... , a_r ∈ R verschiedene Nullstellen von f.
Es soll gezeigt werden, dass es e₁, ... , e_r ∈ ℕ gibt mit f(X) = \( \prod_{i=0}^{r}{} \) (X - ai)^ei g(X) für ein g(X) ∈R[X] und g(a_i) ≠ 0.

Ich habe mir bisher folgendes überlegt, wenn ich ein ai einsetze, dann ergibt das Produkt 0, soweit passt es schon mal.
Wobei ich da noch nichts darüber sagen kann, dass für alle ai auch g(a_i) ≠ 0 ist.

Weiter hab ich mal f(X) = λ₁ X + λ₀ gesetzt (bei grad 0 hätte f(X) keine Nullstelle) und hab damit a₁ = - λ₀ / λ₁
Wenn ich das Produkt, dann ausrechne bekomme ich für g(X) = λ₁ .
Unter der Annahme, dass e₁ = 1 sein muss, da sonst der Grad größer 1 wäre.

Leider haben diese Überlegungen mir noch keine Idee gegeben, die mich zur Lösung führen.
Daher meine Frage, ob mir jemand dazu einen Denkanstoß geben kann, wie ich vorgehen könnte.