Zeige, dass die Umformung des Nabla-Operators gilt.

Question

Gegeben ist die radial symmetrische, zweimal stetig differenzierbare Funktion f : ℝ³\{0} -> ℝ
Zu zeigen ist, dass gilt: ∇f(r) = $\frac{df(r)}{dr}$ $\frac{x}{r}$          (bei ∇ handelt es sich um den Nabla-Operator)

Die Aufgabe bereitet mir große Probleme. Denn zum einen ist x überhaupt nicht definiert, was wohl bedeutet ich muss es so definieren, dass die Gleichung stimmt.
Zum Anderen, das r aus ℝ³ sein muss ist ja klar, aber weshalb teilt man durch den Vektor. Das haben wir nirgends definiert.

Daher hoffe ich, jemand kann mir da weiter helfen, denn ich verstehe die Aufgabe nicht mal richtig.

Answer 1

Aloha :)

Du sollst den Gradienten eine Funktion $f(r)$ bestimmen, die nur vom Betrag $r=\|\vec r\|$ des Vektors $\vec r=(x_1;x_2;x_3)^T$ abhängt. Die $i$-te Komponente dieses Gradienten finden wir mit der Kettenregel:$$\operatorname{grad}_if(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial }{\partial x_i}\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{2x_i }{2\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{x_i }{r}$$

Diese Rechnung gilt für jede Komponente des Gradienten. Wir setzen sie alle zusammen:$$\operatorname{grad}f(r)=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\begin{pmatrix}x_1/r\\x_2/r\\x_3/r\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{1}{r}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{1}{r}\cdot\vec r=f'(r)\cdot\vec r^{\,0}$$

Da hier $f=f(r)$ nur von einer Variablen abhängt, ist $\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{df}{dr}=f'(r)$.

Der Vektor $\vec r$ dividiert durch seine Länge $r$ ist der Einheitsvektor, also $\frac1r\,\vec r=\vec r^{\,0}$.

Bemerkung: Das $x$ in der Aufgabenstellung ist irreführend, dort muss $\vec r$ stehen.

Comments

Hab vielen Dank, dass hilft mir enorm weiter.
Dann werde ich mich gleich (nach dem Mittagessen) mal an die Aufgabe dran setzen und versuchen sie nochmal selbst zu lösen, um zu schauen ob ich es jetzt ganz verstanden habe :)

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Diese Formel ist in der Realität (Physik) extrem nützlich, weil die wichtigsten Kräfte radial wirken. Du kannst damit den Gradienten sehr einfach und schnell bilden.