Signatur aus Hauptminoren folgern

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass die Signatur von Q gleich (n-1, 1, 0) ist, wenn genau die ersten n-1 Hauptminoren positiv und der letzte Hauptminor negativ ist.

Problem/Ansatz:

Intuitiv macht diese Aussage Sinn, aber ich weiß leider nicht wie ich das tatsächlich zeigen kann. Eine Überlegung war, dass die Determinante das Produkt der EW ist, und wenn alle Hauptminoren, bis auf den letzten positiv sind auch alle EW bis auf einen positiv sind, woraus die Signatur (n-1, 1, 0) folgen würde.

Das Problem ist aber dass die Hauptminoren "nur" Determinanten von einem Teil der Matrix sind und ich nicht weiß ob man daraus folgern kann, dass die EW der gesamten Matrix (bis auf "den letzten EW") positiv sind.

Danke im Voraus

Answer 1

Ich gehe mal davon aus, dass Q die Gram-Matrix einer

nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform ist bzgl. einer Basis

\(e_1,\cdots,e_n\).

Die Restriktion von Q auf den Unterraum U, der

von \(e_1,\cdots,e_{n-1}\) aufgespannt wird,

besitzt als Gram-Matrix die Matrix Q', die aus den

ersten n-1 Zeilen und n-1 Spalten von Q

besteht. Da deren Hauptminoren alle positiv sind

ist Q' positiv definit, so dass wir U als den Positivitätsteil der

Signatur erkennen. Da der n-te Hauptminor von Q

jedoch negativ ist, kann Q nicht positiv definit sein,

woraus sich die Signatur zu (n-1,1,0) ergibt.