Sind die Hauptminoren von A alternierend, so ist F negativ definit

Question

Aufgabe:

Es sei A ∈ R^n×n eine symmetrische Matrix und α_i der i-te Hauptminor von A.
Sei F: Rⁿ → R gegeben durch F(x) = x^T Ax

Zeigen Sie: Sind die Hauptminoren von A alternierend, also (−1)ⁱ α_i > 0 für 1 ≤ i ≤ n, so ist F negativ definit.

Problem/Ansatz:

Leider fehlt mir jeglicher Ansatz, kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?

Danke im Voraus!

Answer 1

A ist negativ definit genau dann, wenn -A positiv definit ist.

Positiv-Definitheit erkennt man daran, dass die Hauptminoren alle

positiv sind. Wenn du das "wissen darfst", solltest

du mit diesem Tipp einen Beweis hinbekommen.