Zeige: Die Jacobi-Matrix F′ ist symmetrisch, aber D ist nicht sternförmig.

Question

Sei D:= R² \{0} und γ: [0,2π] → D der geschlossene Weg mit γ(t) := $\begin{pmatrix} cost \\sint \end{pmatrix}$. Das

Vektorfeld F : D → R² sei definiert durch

                              F(x,y):= $\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ $\begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}$

(a) Zeige: Die Jacobi-Matrix F′ ist symmetrisch, aber D ist nicht sternförmig.

(b) Berechne das Wegintegral ∫_γF·ds. Ist F ein Potentialfeld?

Comments

Die Jacobo Mazrix könntest Du doch mal berechnen?

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Die von mir berechnete Jacobo Matrix hat mich verwundert...kannst du mir helfen? danke

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Welche hast Du denn berechnet?

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$\begin{pmatrix} \frac{2xy}{(x2+y2)2} & \frac{-x2+y2}{(x2+y2)2} \\ \frac{-x2+y2}{x2+y2)2} & \frac{-2xy}{(x2+y2)2} \end{pmatrix}$

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Das habe ich auch berechnet. Was ist daran verwunderlich?

Answer 1

Wenn $D$ sternförmig wäre, gäbe es ein Sternzentrum $z_0\in D$,

$-z_0\in D$ kann man aber von $z_0$ aus nicht über eine Verbindungsstrecke

erreichen, da eine solche $1/2(z_0+(-z_0))= 0\notin D$ enthält.