Lineares Gleichungssystem mit Parametern

Question

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Für welche Werte von a und b hat das LGS eine, keine bzw. unendlich viele Lösungen?

I   x+y+z=3

II  2x-y+z=5

III x+4y+az=b

 

Ich habe schon die Lösungen für "eine" und "keine" Lösung. Mir fehlen nur noch die Parameterdarstellungen für die unendlich vielen Lösungen. Ich weiß, dass dafür a=2 und b=4 sein müssen. Ich brauche nur die Lösungsmenge.

Answer 1

Setze deine Lösung für a und b in das Gleichungssystem ein und löse es:

$$\left( {\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{matrix} } \right)$$$$\Rightarrow ...$$$$\Rightarrow \left( { \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$$$\Rightarrow$$$$3y+z=1\Leftrightarrow z=1-3y$$$$x+y+z=3\Leftrightarrow x+y+1-3y=3\Leftrightarrow 2y=x-2\Leftrightarrow y=\frac { x-2 }{ 2 }$$$$z=1-3y=1-3\frac { x-2 }{ 2 } =\frac { 2-3x+6 }{ 2 } =4-\frac { 3x }{ 2 }$$Also Lösungsmenge:$$L=\left\{ { x,y,z\in R }|{ y=\frac { x-2 }{ 2 } \wedge z=4-\frac { 3x }{ 2 }  } \right\}$$

Comments

Danke :) Aber bei mir im Buch muss man immer irgendwelche Variablen durch Parameter ersetzen und diese sind dann immer c bzw. bei noch mehr Variablen c und d. 

---

??

Die Werte für die Parameter hast du doch schon berechnet: a = 2 und b = 4.

Nun willst du doch wissen, welche Lösungsmenge (unendlich viele Lösungen) sich aus dem Gleichungssystem ergibt, wenn man a = 2 und b = 4 setzt.

Die Lösungsmenge des gegebenen Gleichungssystems aber ist die Menge aller möglichen Belegungen der Variablen x, y und z, sodass das Gleichungssystem wahre Aussagen liefert.

Und genau diese Lösungsmenge habe ich angegeben ...