Formale Potenzreihe Beweis Ableitungsformel

Question

Aufgabe:

Die Ableitung einer formalen Potenzreihe $$f(X)$$ sei gegeben durch $$D(f(X))=D(\sum \limits_{i=0}^{\infty}(a_iX^i))=\sum \limits_{i=0}^{\infty}a_{i+1}(i+1)X^i$$

Beweise $$D(f(X)*g(X))=f(X)*D(g(X))+g(X)*D(f(X))$$

Mein Ansatz:

$$D(f(X)*g(X))=D(\sum \limits_{i=0}^{\infty}\sum \limits_{k=0}^{\infty}a_kX^kb_{i-k}X^{i-k})$$

Ansatz der Musterlösung:

$$D(f(X)*g(X))=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(\sum \limits_{i+j=k+1}^{}a_ib_j)(k+1)X^k=\sum \limits_{k=0}^{\infty}(\sum \limits_{i=0}^{k+1}a_ib_{k+1-i}(k+1-i+i))X^k$$

Meine Fragen:

(1) Komme ich mit meinem Ansatz auch zum gewünschten Ergebnis? Und wenn ja, was wäre der nächste Schritt?

(2) Wie kommen die Indizes der Musterlösung $$i+j=k+1$$ bzw. im nächsten Schritt $$i=0$$ und die obere Grenze $$k+1$$ zustande?

Answer 1

Was soll den \( g(X) \) sein?

Ansonsten differenziere die Potenzreihe einfach nach \( x \)

$$ \frac{d}{dx} \sum_{i=0}^\infty a_i x^i = \sum_{i=0}^\infty i a_i x^{i-1} = \sum_{i=1}^\infty i a_i x^{i-1} = \sum_{i=0}^\infty (i+1) a_{i+1}x^i$$