de l´Hospital anwenden, welche Ableitungsregel?

Question

Aufgabe: limes x gegen unendlich ($\frac{cosh x}{sinh x}$ - $\frac{1}{x}$ )

Hier muss ich de l’Hospital anwenden. Welche Ableitungsregel brauche ich hier? Die Quotientenregel? Ich bin habe die Lösung vorliegen weiß aber nicht wie darauf kommen soll. Kann mir da jemand einen Tipp geben? Dieses 1/x verwirrt mich auch irgentwie.

Danke

Comments

Sinnvoller wäre wohl limes x gegen 0.

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Mag sein aber ich kann es mir leider nicht aussuchen. So lautet nun mal die Aufgabe. :-)

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wie würdest du bei limes x gegen 0 vorgehen?

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$\dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}-\dfrac1x=\dfrac{x\cosh(x)-\sinh(x)}{x\sinh(x)}$. Dann zweimal l'Hospital.

Alternativ mittels Reihenentwicklung:$\ \dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}-\dfrac1x=\dfrac x3-\dfrac{x^3}{45}+O(x^5)$.

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Ah ok. Und wie bist du bei l'Hospital vorgegangen? Quotiententregel soll hier ja nicht passen. Sondern? Oder wandelt man das 1/x irgendwie um und leitet dann manuell ab?

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Quotientenregel brauchst du hier nicht. Leite Zähler und Nenner getrennt voneinander ab.

L'Hospital besagt, dass unter gewissen Voraussetzungen $\displaystyle\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$ gilt.

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Gut. Die Ableitung von cosh(x) ist sinh(x). Die Ableitung von 1 ist nichts. Also müsste über dem Bruchstrich sinh(x) stehen.

Unten: die Ableitung von sinh(x) ist cosh(x) und von x = 1.

Das stimmt aber leider nicht mit deinem Ergebnis überein. Kannst du mir sagen was ich falsch mache?

Danke dir

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L*Hospital gilt für Quotienten, nicht für Differenzen von Quotienten!

Du kannst nicht beide Brüche separat hospitalisieren und dann beide Ergebnisse irgendwie verwursten!

Wenn du L'Hosp unbedingt auf den Gesamtterm anwenden willst, musst du aus

$\dfrac{\cosh(x)}{\sinh(x)}-\dfrac1x$ durch Gleichnamigmachen zu

$\dfrac{x \cosh(x)}{x \sinh(x)}-\dfrac{sinh(x)}{x sinh(x)}$ den Quotienten

$\dfrac{x \cosh(x)-\sinh(x)}{x \sinh(x)}$ erzeugen. Jetzt kannst du ja mal versuchen, Zähler und Nenner separat abzuleiten.

(Schön geht anders.)

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Jetzt ergibt es einen Sinn. Vielen Dank!

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Auch dir nochmal danke für die ausführliche Erklärung!

Answer 1

1/x geht doch sowieso gegen 0...

Welche Ableitungsregel brauche ich hier? Die Quotientenregel?

Nein. Für L'Hosp musst du Zähler und Nenner separat ableiten.

Comments

Das heißt 1/x kann ich vollkommen ignorieren? Wenn ich cosh und sinh einfach ableite komme ich nicht auf das korrekte Ergebnis...?

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Wenn ich cosh und sinh einfach ableite komme ich nicht auf das korrekte Ergebnis...?

Nein, ohne weitere Kenntnisse über die Funktionen sinh und cosh nicht.
Die Frage, ob allein mit l'Hospital die Existenz eines Grenzwertes nachgewiesen werden kann, halte ich aber für durchaus interessant..

Answer 2

Hier muss ich de l’Hospital anwenden.

Ist das deine Meinung oder gehört das zur Aufgabenstellung?

Ohne L'Hospital wäre ich so vorgegangen:$$\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}=\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}\cdot \frac{e^x}{e^x}=\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}=1+\frac{2}{e^{2x}-1}\rightarrow 1$$für $x\rightarrow \infty$.

$\frac{1}{x}\rightarrow 0$ für $x\rightarrow\infty$ ist selbstverständlich.

Comments

Das gehört tatsächlich zur Aufgabenstellung. Also im Hinweis steht das wir das mit de l'Hospital lösen sollen.

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Wie lautet der Hinweis genau?

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Hinweis: Verwenden Sie d l'Hospital. Mehr nicht :D

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Ein Hinweis ist nach meinem Verständnis ein Hilfs-Tipp,

keine Aufgabenvorgabe. Anderenfalls würde bereits in der eigentlichen

Aufgabenstellung stehen: Bestimmen Sie den Grenzwert

unter Verwendung von de l'Hospital.

Ein Hinweis ist ein "Kann", kein "Muss".

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Ja bei uns wird der Hinweis manchmal "missbraucht" um uns zu sagen mit welchen Verfahren wir etwas lösen sollen. Beispielsweise bei Integralen stand im Hinweis: Benutzen Sie die Sustitustionsregel. Ist in gewissermaßen aber auch ein Hilfs Tipp. Wir müssen zwar nicht so vorgehen, uns wird aber stark dazu geraten weil es so meistens am einfachsten ist. Hier ist es auch so. Es gibt sicherlich andere Wege, aber ich würde gerne verstehen was bei der Aufgabe erwartet wurde.

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uns wird aber stark dazu geraten weil es so meistens am einfachsten ist.

Das scheint hier aber nicht so zu sein:

Nach l'Hospital soll man dann $\frac{sinh(x)}{cosh(x)}\rightarrow ?$ bestimmen

für $x\rightarrow \infty$

Mit "Krampf" kann man daraus auf den Grenzwert 1 schließen ...

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Ja das stimmt. Ein seltsamer Hinweis... vielleicht hat man hier einen Fehler gemacht? Wäre nicht das erste mal...

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vielleicht hat man hier einen Fehler gemacht?

Sieht so aus, als ob ein Assistent oder eine studentische
Hilfskraft nur die Gestalt $\frac{\infty}{\infty}$ gesehen hat
und dann, ohne die Aufgabe wirklich gerechnet zu haben, gemeint hat,
diese "rieche" nach l'Hospital.

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Mein Verdacht ist, dass es x gegen 0 heißen sollte?

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Möglich. Da die Aufgabe glaube ich den Sinn hatte de l'Hospital zu üben wird es wohl ein Fehler solcher Art sein. Wie würde es denn für x gegen 0 aussehen?

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Mein Verdacht ist, dass es x gegen 0 heißen sollte?

Das liefert die Form "$\cosh(0)/\sinh(0)= 1/0$", was auch nicht zu

l'Hospital passt.

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Aber mit dem -1/x schon, nach Umformung.

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Oh ja! Du hast Recht !