Aloha :)
Ein Faktor springt über den Bruchstrich, indem sein Exponent das Vorzeichen wechselt, daher ist:$$x\cdot e^{-x}=x\cdot\frac{e^{-x}}{1}=x\cdot\frac{1}{e^x}=\frac{x}{e^x}$$
Für \(x\to\infty\) konvergieren sowohl der Zähler als auch der Nenner unabhängig voneinander gegen \(\infty\), sodass wir die Regel von L'Hospital anwenden dürfen. Dazu leiten wir Zähler und Nenner unabhängig voneinander ab:$$\lim\limits_{x\to\infty}\left(x\cdot e^{-x}\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{x}{e^x}\right)\stackrel{(\text{L'Hospital})}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{1}{e^x}\right)=0$$
Für \(x\to-\infty\) konvergiert der Zähler gegen \(-\infty\) und der Nenner gegen \(0\). Wir dürfen L'Hospital aber nur bei \(\frac{\infty}{\infty}\) und \(\frac{0}{0}\) anwenden. Wir können den Term jedoch so umschreiben, dass wir L'Hospital gar nicht benötigen:$$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x\cdot e^{-x}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac{x}{e^x}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac{1}{\frac1x\cdot e^x}\right)$$Im Nenner konvergieren beide Faktoren für \(x\to-\infty\) gegen \(0\):$$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac1x\cdot e^{x}\right)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac1x\right)\cdot\lim\limits_{x\to-\infty}\left(e^{x}\right)=(-0)\cdot(+0)=-0$$Die Vorzeichen bei den Nullen sollen andeuten, dass \(\frac1x\) von unten her und \(e^x\) von oben her gegen \(0\) konvergiert. Der Nenner \(\frac1x\cdot e^x\) konvergiert also von unten her gegen \(0\), sodass gilt:
$$\lim\limits_{x\to-\infty}(x\cdot e^{-x})=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\frac{1}{\frac1x\cdot e^x}\right)\to\frac{1}{-0}\to-\infty$$
~plot~ x*e^(-x) ; [[-2|6|-3|0,5]] ~plot~
