Eigenschaften Harmonischer Funktionen

Question

Aufgabe:

Per Definition ist eine harmonische Funktion, eine Funktion die zweimal stetig differenzierbar ist sowie der Laplace Operator auf sie angewendet ergibt 0. Gegeben sei eine harmonische Funktion $$f(x) $$

1) ist eine harmonische Funktion stetig?

2) Ist die ableitung einer harmonischen Funktion harmonisch?

3) ist $$ \Delta f(x), harmonisch?$$

4) ist eine harmonische Funktion beschränkt?

Problem/Ansatz:

Zu 1 ists mir klar eine harmonische Funktion ist per Definition stetig.(also wahr)

Zu 2. Die ableitung einer harmonischen Funktion ist auch harmonisch, weil eine harmonische Funktion beliebig oft differenzierbar ist ( wahr) hätte ich behauptet.

3) weiß ich nicht wie das gemeint ist

Damit würde ich sagen 4 ist falsch, da aufgrund des Maximum/Minimumsprinzip der Funktion besagt wird, dass eine harmonische Funktion ihr min/max nur annimmt, wenn sie konstant ist.

Answer 1

1) ist eine harmonische Funktion stetig?

Folgt, wie du schreibst, per definitionem. Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit.

2) Ist die ableitung einer harmonischen Funktion harmonisch?

Partielle Ableitungen von harmonischen Funktionen sind harmonisch.

3) Ist \(\Delta f(x)\) harmonisch?

Es gibt sogenannte biharmonische Funktionen. Harmonische Funktionen sind auch immer biharmonische Funktionen; die Umkehrung muss aber nicht gelten.

4) ist eine harmonische Funktion beschränkt?

Beschränkte harmonische Funktionen sind nach Liouville konstant; es gibt nichtkonstante harmonische Funktionen.