Die Entwicklung der Preise für Baugrundstücke

Question

Aufgabe:

Die Entwicklung der Preise für Baugrundstücke in einer deutschen Großstadt in Euro pro Quadratmeter kann für die Jahre 2000 bus 2009 näherungsweise durch die Funktion f mit f(x)=-0.4x3 + 2,7x2 + 16x +285 beschrieben werden ,wobei x=0 dem Jahr 2000 und x=9 dem Jahr 2009 entspricht .

a) Bestimmen sie rechnerisch mithilfe der Funktion f, in welchem Jahr die Grundstückspreise am höchsten waren und wie hoch der Höchstpreis im Zeitraum 2000-2009 war

Problem/Ansatz:

Ich möchte wissen, wie ich diese Aufgabe lösen muss

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Hier ist das Maximum der folgenden Funktion gesucht:$$f(x)=-0,4x^3+2,7x^2+16x+285\quad;\quad x\in[0;9]$$

Kandidaten für Extremwerte finden wir dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$f'(x)=-1,2x^2+5,4x+16\stackrel!=0\quad\implies\quad x^2-\frac92x-\frac{40}{3}\stackrel!=0$$Die pq-Formel liefert:$$x_{1;2}=\frac94\pm\sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)^2+\frac{40}{3}}=\frac94\pm\sqrt{\frac{81}{16}+\frac{40}{3}}=\frac{9}{4}\pm\sqrt{\frac{883}{48}}$$Wegen $x\in[0;9]$ kommt nur der Wert mit dem positiven Vorzeichen in Betracht:$$x_0=\frac94+\sqrt{\frac{883}{48}}\approx6,5390$$

Wir prüfen den Kandidaten noch, indem wir ihn in die zweite Ableitung einsetzen:$$f''(x)=-2,4x+5,4\implies f''(6,5390)\approx-10,2936<0\implies\text{Maximum}$$

Etwa In der Mitte des Jahres $2006$ waren die Preise am höchsten.

Der Höchstpreis betrug $f(6,5390)\approx393,23$ Euro pro Quadratmeter.

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f₁(x) = -0,4x³+2,7x²+16x+285x = 9P(6,5390|393,23)Zoom: x(0…10) y(0…400)