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Hier ist das Maximum der folgenden Funktion gesucht:$$f(x)=-0,4x^3+2,7x^2+16x+285\quad;\quad x\in[0;9]$$
Kandidaten für Extremwerte finden wir dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$f'(x)=-1,2x^2+5,4x+16\stackrel!=0\quad\implies\quad x^2-\frac92x-\frac{40}{3}\stackrel!=0$$Die pq-Formel liefert:$$x_{1;2}=\frac94\pm\sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)^2+\frac{40}{3}}=\frac94\pm\sqrt{\frac{81}{16}+\frac{40}{3}}=\frac{9}{4}\pm\sqrt{\frac{883}{48}}$$Wegen \(x\in[0;9]\) kommt nur der Wert mit dem positiven Vorzeichen in Betracht:$$x_0=\frac94+\sqrt{\frac{883}{48}}\approx6,5390$$
Wir prüfen den Kandidaten noch, indem wir ihn in die zweite Ableitung einsetzen:$$f''(x)=-2,4x+5,4\implies f''(6,5390)\approx-10,2936<0\implies\text{Maximum}$$
Etwa In der Mitte des Jahres \(2006\) waren die Preise am höchsten.
Der Höchstpreis betrug \(f(6,5390)\approx393,23\) Euro pro Quadratmeter.
~plot~ -0,4x^3+2,7x^2+16x+285 ; x=9 ; {6,5390|393,23} ; [[0|10|0|400]] ~plot~
