Summenkonvention durch Summenzeichen ersetzen

Question

Aufgabe:

Schreiben Sie für jeden der folgenden Punkte entweder die Gleichung explizit mit dem Summationszeichen auf oder erklären Sie, warum die Gleichung keinen Sinn ergibt. Geben Sie eine oder mehrere mögliche korrekte Versionen der falschen Gleichungen an.

(i) \( X^{a}=L_{b}^{a} M^{b c} \hat{X}_{c} \)
(v) \( X^{a}=L_{b}^{a} \hat{X}^{b}+M^{a b} \hat{X}^{b} \)
(ii) \( X^{a}=L_{{ }_{c}}^{b} M_{{ }_{d}^{c}}^{c} \hat{X}^{d} \)
(vi) \( X^{a}=L^{a}{ }_{b} \hat{X}^{b}+M^{a}{ }_{c} \hat{X}^{c} \)
(iii) \( \delta_{b}^{a}=\delta_{c}^{a} \delta_{d}^{c} \)
(vii) \( X^{a}=L_{c}^{a} \hat{X}^{c}+M^{b}{ }_{c} \hat{X}^{c} \)
(iv) \( \delta_{b}^{a}=\delta_{b}^{a} \delta_{c}^{c} \)
(viii) \( X^{a}=L_{c}^{a} \hat{X}^{c}+\sum \limits_{c} M^{a c} \hat{X}^{c} \)

Problem/Ansatz:
Ich hätte spontan die mit zwei Indizes oben als falsch erkannt (1 und 5). Wie ich diese aber korrekt anschreiben kann, ist mir nicht ganz klar und ich wäre über z.B die ersten zwei Punkte als Beispiel bzw Hilfestellung sehr dankbar

Answer 1

Aloha :)

Die Summenkonvention besagt, dass über jedes gleiche Paar kontra- und kovarianter Indizes summiert wird. Das heißt formal, die Indizes müssen gleich sein und der eine Index muss oben, der andere muss unten stehen.

$$(\mathrm i)\;X^a=\green{L^a_bM^{bc}\hat{X}_c}=\sum\limits_{b,c}\green{L^a_bM^{bc}\hat{X}_c}$$$$(\mathrm v)\;X^a=\green{L^a_b\hat X^b}+\red{M^{ab}\hat X^b}\;\;\to\;\;X^a=\green{L^a_b\hat X^b}+\blue{M^{ab}\hat X_b}=\sum_b\green{L^a_b\hat X^b}+\sum_b\blue{M^{ab}\hat X_b}$$$$(\mathrm{ii})\;X^a=\red{L^b_cM_c^c\hat X^d}\;\;\to\;\;X^a=\blue{L^a_cM_d^c\hat X^d}=\sum_{c,d}\blue{L^a_cM_d^c\hat X^d}$$$$(\mathrm{vi})\;X^a=\green{L^a_b\hat X^b+M^a_c\hat X^c}=\sum_b\green{L^a_b\hat X^b}+\sum_c\green{M^a_c\hat X^c}$$$$(\mathrm{iii})\;\delta_b^a=\green{\delta^a_c\delta^c_d}\;\;\to\;\;\delta_b^a=\sum_c\green{\delta^a_c\delta^c_b}$$$$(\mathrm{vii})\:X^a=\green{L^a_c\hat X^c}+\red{M^b_c\hat X^c}\;\;\to\;\;X^a=\green{L^a_c\hat X^c}+\blue{M^a_c\hat X^c}=\sum_c\green{L^a_c\hat X^c}+\sum_c\blue{M^a_c\hat X^c}$$$$(\mathrm{iv})\;\delta^a_b=\red{\delta^a_b\delta^c_c}\;\;\to\;\;\delta^a_b=\blue{\delta^a_c\delta^c_b}=\sum_c\blue{\delta^a_c\delta^c_b}$$$$(\mathrm{viii})\;X^a=\green{L^a_c\hat X^c}+\green{M^{ac}\hat X^c}=\sum_c\green{L^a_c\hat X^c}+\sum_c\green{M^{ac}\hat X^c}$$

Comments

Vielen Dank für die Antwort!
Wenn M^bc korrekt ist mit X_c danach, ist der hochgestellte Index dann b*c?

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Fast, über den doppelten Index \(c\) wird summiert, daher taucht er im Ergebnis nicht mehr auf:$$M^{bc}X_c=M^b$$

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Danke für die schnelle Reaktion! Meinte eigentlich das bc beim ersten M, nicht im Ergebnis - in einer Summe wären die Indizes ja Zahlen, zB b=2 und c=3. Ist es dann 2,3 bei einer Matrix/einem Tensor oder 2*6 = 6 als Element-Kennzeichnung für einen Vektor zB?

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Wenn du eine Matrix \(M^{bc}\) mit einem Vektor \(X_c\) multiplizierst, erhältst du einen Vektor \(M^{b}\). Meinst du das?

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Ah ja, danke sehr! Sehr hilfreiche Antwort, auch so lieb mit den Farben! <3