Matrizen innerhalb einer Matrix (Verständnis + Rang bestimmen)

Question

Hallöle,

ich habe einen Körper \( K \) und \( M \) sei eine Matrix über \( K \) von der Form

\( M=\left(\begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array}\right) \)

mit \( A \in \operatorname{Mat}_{K}(a \times a), B \in \operatorname{Mat}_{K}(a \times d) \) und \( D \in \operatorname{Mat}_{K}(d \times d) ; 0 \in \operatorname{Mat}_{K}(d \times a) \) sei die Nullmatrix.
Ich soll zeigen:

(a) \( \operatorname{Rang}(M) \geq \operatorname{Rang}(A)+\operatorname{Rang}(D) \)

(b) \( M \) ist genau dann invertierbar, wenn \( A \) und \( D \) invertierbar sind.

Problem:

Was genau kann ich mir denn von Matrizen innerhalb einer Matrix vorstellen. Wie soll ich einen Rang bestimmen? Ich kann doch keine Matrix mit Matrizen auf ZSF oder der gleichen bringen?

Wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte

Mfg Quentin

Answer 1

So was z.B - Blockmatrizen:

\(\small M \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrrrr}-3&0&0&1&0&0\\0&-3&0&0&1&0\\0&0&-3&0&0&1\\-25&0&0&7&0&0\\0&-25&0&0&7&0\\0&0&-25&0&0&7\\\end{array}\right)\)

wir würden das eindampfen auf

\(\left(\begin{array}{rr}A&B\\C&D\\\end{array}\right)\)

Det(M) = Det(A D - B C)

also

\(\small det \left(    \left(\begin{array}{rrr}-3&0&0\\0&-3&0\\0&0&-3\\\end{array}\right)  \left(\begin{array}{rrr}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\\\end{array}\right)  - \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}-25&0&0\\0&-25&0\\0&0&-25\\\end{array}\right)   \right)   \)

Wenn C=0 bleibt nur det(A D) übrig

Comments

Det(M) = Det(A D - B C)

Gilt das allgemein?

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Danke erstmal für das anschauliche Beispiel. Aber abgesehen von der Frage, ob einer Matrix z.B. vollen Rang hat, scheint mir die Determinante erstmal nicht weiterzuhelfen. Also ich hab in der VL halt nur dieses Standard-Verfahren kennengelernt, also Matrix auf ZSF bringen und den Rang dann ablesen. Da die Matrizen A,B und D aber ja auch beliebig aussehen können, wüsste ich nicht, wie ich dieses Wissen analog anwenden könnte.