Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz. Geben Sie im Fall der Divergenz an, ob bestimmte Divergenz gegen $\infty$, bestimmte Divergenz gegen $-\infty$ oder unbestimmte Divergenz vorliegt:

a) $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3 k^{2}-2}{k^{4}+2 \sqrt{k}}$

b) $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3 k+2}{2 k^{2}-\sqrt{k}}$

c) $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3 \sqrt{k}+2}{4 k^{2}-\sqrt{k+2}}$

Comments

Wie mach ich das mit den Wurzeln?

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Bei a) schätze den Zähler nach oben und den Nenner nach unten wie folgt ab:
Für alle $k\ge1$ gilt $0<3k^2-2<3k^2$ und $k^4+2\sqrt k>k^4$.
Daher ist $0<\dfrac{3k^2-2}{k^4+2\sqrt k}<\dfrac{3k^2}{k^4}=\dfrac3{k^2}$.
Da die Reihe $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}$ bekanntlich konvergiert, konvergiert auch die ursprüngliche Reihe nach dem Majorantenkriterium.

Answer 1

a) Verwende 3/(2k²) als konvergente Majorante.

b)

Erzeuge unter Zuhilfenahme der harmonischen Reihe eine divergente Minorante

Comments

3/(2k²) ist keine Majorante.