Aufgabe:
Satz: Es sei \( f: C \rightarrow \mathbb{R}, C \subset \mathbb{R}^{n} \) konvex, stetig differenzierbar und \( x_{0} \in C \) ein innerer Punkt mit \( \nabla f\left(x_{0}\right)=0 \).
1. Es sei \( f \) konvex, dann hat \( f \) and \( x_{0} \) ein globales Minimum.
2. Es sei \( f \) konkav, dann hat \( f \) and \( x_{0} \) ein globales Maximum.
Problem/Ansatz:
Hinweis: Nehmen an, dass am kritischen Punkt kein globales Extremum vorliegt sodass ein \( y_{0} \) existiert, das dem widerspricht. Stellen Sie den Differenzenquotienten zur Richtungsableitung in Richtung von \( x_{0} \) nach \( y_{0} \) auf und leiten Sie damit unter Verwendung der Konvexität/Konkavität einen Widerspruch zu \( \nabla f(x)=0 \) her.
