In \( \mathbb{C}^{3} \) seien die folgenden Vektoren gegeben:
\( v_{1}=\left(\begin{array}{c}1-2 \mathrm{i} \\ 3 \mathrm{i} \\ -1+\mathrm{i}\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -\mathrm{i}\end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c}-2+\mathrm{i} \\ -3 \\ -1\end{array}\right), \quad v_{4}=\left(\begin{array}{l}\mathrm{i} \\ \mathrm{i} \\ \mathrm{i}\end{array}\right) \)
Sind \( v_{1}, v_{2}, v_{4} \) linear unabhängig?
Ansatz:
a1*v1+a2*v2+a4*v4=0 a1,a2,a4 € C
\( \begin{pmatrix} 1-2i& 4&i \\ 3i & 0&i\\ -1+i&-i&i \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} a1\\a2\\a3 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
Zeile 2 liefert:
3ia1+ia4=0 /-3ia1
ia4=-3ia1 / :i
-->a4=-3a1
Zeile 1 liefert:
(1-2i)a1+4a2-3ia1=0
a1-2ia1-3ia1+4a2=0
-a1-5ia1+4a2=0
a1(-1-5i)+4a2=0 / -a1(-1-5i) /:4
--> a2=\( \frac{-a1(-1-5i)}{4} \)
Zeile 3 liefert:
(-1+i)a1-\( \frac{i(-a1(-1-5i))}{4} \)-3ia1=0
--> \( \frac{-4a1+4ia1-a1i+5a1-12ia1}{4} \) = \( \frac{a1(1-9i)}{4} \)
\( \frac{a1(1-9i)}{4} \)=0 ⇒ a1=0
Einsetzten in a2, a4
a2= 0*(-1-5i)/4⇒a2=0
a4=-3*0 ⇒ a4=0
a1=a2=a4=0 , somit sind v1,v2,v4 linear unabhängig, weil es nur die triviale Lösung gibt.
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Kann man das direkt so machen, ohne die Matrix erstmal auf Stufenform zu bringen?
Wäre das so korrekt?
