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In \( \mathbb{C}^{3} \) seien die folgenden Vektoren gegeben:

\( v_{1}=\left(\begin{array}{c}1-2 \mathrm{i} \\ 3 \mathrm{i} \\ -1+\mathrm{i}\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 0 \\ -\mathrm{i}\end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{c}-2+\mathrm{i} \\ -3 \\ -1\end{array}\right), \quad v_{4}=\left(\begin{array}{l}\mathrm{i} \\ \mathrm{i} \\ \mathrm{i}\end{array}\right) \)

Sind \( v_{1}, v_{2}, v_{4} \) linear unabhängig?

Ansatz:

a1*v1+a2*v2+a4*v4=0   a1,a2,a4 € C

\( \begin{pmatrix} 1-2i& 4&i \\ 3i & 0&i\\ -1+i&-i&i \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} a1\\a2\\a3 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)

Zeile 2 liefert:

3ia1+ia4=0 /-3ia1

ia4=-3ia1 / :i

-->a4=-3a1


Zeile 1 liefert:

(1-2i)a1+4a2-3ia1=0

a1-2ia1-3ia1+4a2=0

-a1-5ia1+4a2=0

a1(-1-5i)+4a2=0 / -a1(-1-5i) /:4

--> a2=\( \frac{-a1(-1-5i)}{4} \)


Zeile 3 liefert:

(-1+i)a1-\( \frac{i(-a1(-1-5i))}{4} \)-3ia1=0

--> \( \frac{-4a1+4ia1-a1i+5a1-12ia1}{4} \) = \( \frac{a1(1-9i)}{4} \)

\( \frac{a1(1-9i)}{4} \)=0 ⇒ a1=0


Einsetzten in a2, a4

a2= 0*(-1-5i)/4a2=0


a4=-3*0 ⇒ a4=0


a1=a2=a4=0 , somit sind v1,v2,v4 linear unabhängig, weil es nur die triviale Lösung gibt.

.......................................


Kann man das direkt so machen, ohne die Matrix erstmal auf Stufenform zu bringen?

Wäre das so korrekt?


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