Wie erklärt sich dieser Schritt der vollständigen Induktion?

Question

a) Für alle n ∈ N gilt 2ⁿ > n.

Beweis durch vollständige Induktion:

(IA) Für n = 1 gilt 2¹ = 2 > 1.

(IS) Sei n ≥ 1, so dass 2ⁿ > n bereits gilt.

Multiplikation mit 2 ergibt 2ⁿ⁺¹ > 2n = n + n > n + 1. [HIER]

Also gilt dann auch 2ⁿ⁺¹ > (n + 1).

Den Schritt, welcher mit [HIER] markiert ist, verstehe ich nicht.

Die Multiplikation mit 2 macht noch Sinn, da: 2ⁿ*2 = 2ⁿ⁺¹ und n*2= 2n

Aber wieso ergibt dies n + n > n + 1?

Answer 1

Aber wieso ergibt dies n + n > n + 1?

Nicht DIES ergibt n+n>n+1.

Allein die Tatsache, dass (meistens) eine natürliche Zahl n größer als 1 ist, lässt zu dass n>1 genau dann gilt, wenn (nach beidseitiger Addition von n) auch

n + n > n + 1 

gilt.

Comments

Und wie beweist es die ganze Sache dann endgültig?

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Und wie beweist es die ganze Sache dann endgültig?

Mit der Gültigkeit des Induktionsanfangs und mit

Also gilt dann auch 2ⁿ⁺¹ > (n + 1).

Answer 2

2^{n+1} > 2n = n + n ≥ n + 1.

An dieser Stelle muss "größer gleich" stehen, da n ja auch gleich 1 sein kann.