ist f subjektiv?injektiv?

Question

Funktion \( f: \mathbb{C} \backslash\{1+\mathrm{i}\} \rightarrow[0,2 \pi), z \mapsto \arg \left(\frac{|z-1-\mathrm{i}|}{z-1-\mathrm{i}}\right) \).

a) ist f surjektiv?

b) ist f injektiv?

mit Begründung

Comments

Wie geht ich man an die Sache heran?

bisher habe ich folgendes:

z€C → z=a+bi ; a,b€R

-->arg\( \frac{|a+bi-1-i|}{a+bi-1-i} \)

a+bi-1-i= a-1+i(b-1)

wegen Betrag Fallunterscheidung:

Fall 1:

arg\( \frac{ a-1+i(b-1)}{ a-1+i(b-1)} \)  = arg(1) = 0 

(weil Winkel zu Re-Achse =0)

Fall 2:

| a-1+i(b-1)| → -( a-1+i(b-1)) → -a+1-i(b-1)

also :

arg\( \frac{a+1-i(b-1) }{ a-1+i(b-1)} \)  

.......? Komplex konjugiert erweitern?

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Für injektiv muss ich ja folgendes beweisen:

F(z) =F(w). Z=a+bi, w=c+di a, b, c, d €R

Ich hab oben eine Fall Unterscheidung gemacht.

Bei dem positiven Fall würde 0 rauskommen. Sowohl für z, als auch für w.

Bei dem negativen Fall konnte ich es nicht zu Ende rechnen. Aber es sowohl bei z, als auch bei w, das selbe Ergebnis rauskommen, da  ja eigentlich das selbe eingesetzt wird.

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Du scheinst für |z| eine Fallunterscheidung z>0 oder z<0 zu machen? Dann sollstest Du Dich über die Definition des Betrags im Komplexen informieren.