Nullstelle bei komplex-konjungierten Zahlen zeigen.

Question

Aufgabe:

Seien z1, z2 ∈ C. Zeigen Sie, dass die folgende Aussage gilt:

Sei f ∈ R[X] und z ∈ C eine Nullstelle von f . Zeigen Sie, dass dann auch ̄z(komplex konjungierte Zahl)
eine Nullstelle von f ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme nachzuweisen, dass ̄z(komplex konjungierte Zahl) wirklich eine Nullstelle ist. Bei z konnte ich dies durch:

f(x) = (x-z)*q+r  → f(z)=(z-z)*q+r = ((a+ib)-(a+ib))*q+r ⇒ r=0

nachweisen.

Aber bei ̄z(komplex konjungierte Zahl) würde dies ja so aussehen:

f(x)=(x-z)*q+r → f( ̄z)=( ̄z-z)*q+r = ((a-ib)-(a+ib))*q+r ⇒r= 2ibq

Damit ist dies ja nun keine Nullstelle oder habe ich mich komplett vertan?

Comments

Zeige (wenn nicht bereits bekannt ist), dass \(\overline{x\cdot y}=\overline x\cdot\overline y\) und \(\overline{x+y}=\overline x+\overline y\) für \(x,y\in\mathbb C\) gilt.
Rechne damit nach, dass \(0=\overline0=\overline{f(z)}=f(\overline z)\) ist.

Answer 1

Es sei:

\(f(z)=(z-2)^2+4\)

Nullstellen:

\((z-2)^2+4=0\)

\((z-2)^2=-4=4i^2|\sqrt{~~}\)

1.)

\((z-2)=2i\)      →  \(z₁=2+2i\)

2.)

\((z-2)=-2i\)    →  \(z₂=2-2i\)

Somit ist \( z₂\) komplex  konjugiert zu \(z₁\).

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Welche Frage ist damit beantwortet?