Quadratische Regression Funktion

Question

Aufgabe:

Für die Prognose von y-Werten auf Basis von x-Werten soll eine Regressionsfunktion der Form $$y=a+bx^2$$ verwendet werden. Bestimme die fehlenden Koeffizienten a und b, sodass die Fehlerquadratsumme der folgenden Daten minimiert wird.

    | 1     | 2       | 4  |

yi | 0      | 1      | 2   |

xi | 13/4 | 13/2 | 13 |

Problem/Ansatz:

Ich habe schon gelesen, dass diese Art von Bsp. mit den kleinsten Fehlerquadraten gelöst wird, habe aber leider keinen Ansatz wie ich das anstellen kann.

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Dann würde ich die Daten mal in die Funktion einsetzen:

$\left\{ b \cdot \frac{169}{16} + a = 0, b \cdot \frac{169}{4} + a = 1, b \cdot 169 + a = 2 \right\}$

und als Matrix schreiben

$\small A:= \, \left(\begin{array}{rr}\frac{169}{16}&1\\\frac{169}{4}&1\\169&1\\\end{array}\right), c \, := \, \left(\begin{array}{r}0\\1\\2\\\end{array}\right)$

dann die Matrixgleichung zur Normalengleichung umformen (min)

A (b,a)^T = c ==> A^T A (b,a)^T = A^T c

$\small \left\{ \left(\begin{array}{rr}\frac{7797153}{256}&\frac{3549}{16}\\\frac{3549}{16}&3\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}b\\a\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}\frac{1521}{4}\\3\\\end{array}\right) \right\}$

==> x = (A^T A)^-1 A^T b

$\left(\begin{array}{r}b\\a\\\end{array}\right) ≅ \left(\begin{array}{r}0.01127\\0.16667\\\end{array}\right)$

Comments

Wie du es als Matrix schreibst kann ich noch nachvollziehen, aber ab "A (b,a)^T = c ==> A^T A (b,a)^T = A^T c" steige ich leider aus. Was bedeutet das?

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Das nennt man Normalengleichung.

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/ku9JMAPU