a) Mit n=2 und F=ℝ betrachte die Listen
\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) und
\( \begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \)
Dann hast du ein Gegenbeispiel.
Umkehrung: Wenn die Liste\( v_{1}+w_{1}, \ldots, v_{n}+w_{n} \)linear unabhängig
ist, dann sind auch die Listen \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) und \( w_{1}, \ldots, w_{n} \) linear unabhängig.
Ist auch falsch: Gegenbeispiel \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \).
c) Bestimmen Sie diejenigen \( \lambda \in \mathbb{R} \), für die die Liste \( (\lambda, 1,0),(1,-1,1),(0,0,1) \in \mathbb{R}^{3} \) linear abhängig ist.
Ansatz : \( a\cdot (\lambda, 1,0)+b\cdot(1,-1,1)+c\cdot(0,0,1) \)=0
==> \( a\cdot \lambda +b = 0 \) und a-b=0 und b+c=0
(2. Gleichung + 3. )
==> \( a\cdot \lambda +b = 0 \) und a-b=0 und a+c=0
Die letzten beiden sind nur erfüllt, wenn a=b und a=-c,
dann wird aus der ersten \( a\cdot \lambda +a = 0 \)
==> \( a\cdot (\lambda +1) = 0 \)
<=> a=0 oder \( \lambda +1= 0 \)
Für a=0 folgt aber sofort a=b=c=0, also sind die
Vektoren dann lin. unabh.
Für \( \lambda = -1 \) kann man also a beliebig wählen und erhält
z.B. die Lösung a=b=1 und c=-1 .
Also ist z.B.
\( 1\cdot (-1, 1,0)+1\cdot(1,-1,1)-1\cdot(0,0,1) =(0,0,0) \) so eine
Darstellung.
