beweise oder widerlegen Sie

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beweise oder widerlegen Sie

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Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) Die Zuordnung
$ \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{l} \frac{3}{2} \\ 3 \\ 3 \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) $
lässt sich zu einer linearen Abbildung $ f: V_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow V_{2}(\mathbb{R}) $ fortsetzen.
(b) Sei $ V $ ein zwei-dimensionaler $ K $-Vektorraum und $ \underline{B} $ eine Basis von $ V $. Eine lineare Abbildung $ f: V \rightarrow V $ heißt Drehung bezüglich $ \underline{\mathrm{B}} $, wenn $ \mathrm{Mat} \underline{\underline{\mathrm{B}}}(f) $ von der Gestalt
$ \left(\begin{array}{cc} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta) & \cos (\theta) \end{array}\right) $
für ein $ \theta \in[0,2 \pi) $ ist. Ist $ f $ eine Drehung bezüglich einer Basis $ \underline{\mathrm{B}} $, so ist die duale Abbildung $ f^{*}: V^{*} \rightarrow V^{*} $ eine Drehung bezüglich der dualen Basis $ \underline{\mathrm{B}}^{*} $ von $ \underline{\mathrm{B}} $.

ich hab bei beidem raus, dass es unwahr ist, könnt ihr mir eure Meinung dazu sagen`?

Gefragt 19 Dez 2022 von Mathelf22

1 Antwort

ermanus · Answer 1 · 2022-12-19T12:01:07+0000

(a) findest du hier:
https://www.mathelounge.de/982952/beweisen-oder-widerlegen-zuordnung-lineare-abbildung

(b) Hier habe ich heraus, dass die darstellende Matrix von $f^*$ bzgl.

der Dualbasis $e_1^*,e_2^*$ eine Drehmatrix zum Winkel $-\theta$ ist.

Zu (b):
Die Elemente des Dualraumes kann man bzgl. der Dualbasis
als Zeilenvektoren auffassen: $e_1^*=(1,0),\; e_2^*=(0,1)$

Es ist dann mit $A:=A_f$:
$f^*(e_1^*)=e_1^*\cdot A=(1,0)\cdot A=(\cos \theta, -\sin \theta)=(\cos \theta)e_1^*+(-\sin \theta)e_2^*$, ebenso
$f^*(e_2^*)=e_2^*\cdot A=(0,1)\cdot A=(\sin \theta, \cos \theta)=(\sin \theta)e_1^*+(\cos \theta)e_2^*$,

also ist die darstellende Matrix von $f^*$ die Matrix$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta&\sin\theta\\-\sin \theta&\cos\theta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos(-\theta)&-\sin(-\theta)\\\sin(- \theta)&\cos(-\theta)\end{array}\right)$$

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