Folgendes Lebesgue-Integral berechnen.

Question

Aufgabe:

Wir haben jetzt in der Wahrscheinlichkeitstheorie das Lebesgue-Integral eingeführt. Nur leider versteh ich noch nicht so ganz, wie man damit rechnet. Hoffe Ihr könnt mir das einmal zeigen. Danke im Voraus.

Sei f : ℝ → ℝ, x ↦ (1 - |x|) * 1_[-1,1](x). Wobei 1 für die Indikatorfunktion steht. Nun soll ich folgendes Lebesgue-Integral berechnen:

\( \int\limits_{}^{} \)_ℝ f(x)dλ₁(x).

Answer 1

Es handelt sich bei dem Integranden um eine stetige Funktion, die außerhalb des Intervalls [-1,1] gleich 0 ist. Daher ist einfach das gewöhnliche Riemann-Integral zu berechnen:

$$\int_{-1}^1(1-|x|)\;dx$$