Aufgabe:
a)
In \(\mathbb{R}^2\) wird das Lebesgue-Maß mit dem Flächeninhalt eines Rechtecks definiert. Zeigen Sie, dass der Flächeninhalt der halben x-Achse gleich 0 ist (Nullmenge im Sinne eines Flächenintegrals).
b)
Sei \(D \colon [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}\)
\(D(x) = \begin{cases}1, & x \in [-\pi, \pi] \setminus \mathbb{Q} \\0, & x \in [-\pi, \pi] \cap\mathbb{Q}\end{cases}\)
eine Variante der sogenannten Dirichlet-Funktion. Zeigen Sie, dass
\(\| D - \mathbf{1} \|_2 = 0\),
wobei \(\mathbf{1}\) die konstante Funktion mit Wert 1 ist.
Hinweis:
\(\| f \|_p := \left( \int_X |f|^p \, dx \right)^{1/p}, \quad 1 < p < \infty\),
\(N = \{ x \mid D(x) - 1 \neq 0 \}\)
\(N^c = \{ x \mid D(x) - 1 = 0 \}\)
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Problem:
Ich bin in der Regel nicht besonders gut bei Beweisaufgaben. Trotzdem habe ich mir bereits einige Gedanken dazu gemacht. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich alles richtig gerechnet habe. Könntet ihr mir vielleicht ein wenig helfen? Ich habe meinen Rechenweg schon einmal vorgeschrieben. Es wäre super, wenn ihr mir helfen könntet, eventuelle Fehler zu finden und zu korrigieren.
a)
Also gegeben ist \( A := \{ (x,0) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0 \} \).
Für jedes \(\varepsilon > 0\) überdecken wir \(A\) durch Rechtecke
\( R_n := [n, n+1] \times \left[-\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}, \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}\right], \quad n=0,1,2,\dots \).
Flächeninhalt von \(R_n\): \( m_2(R_n) = 1 \cdot \frac{\varepsilon}{2^{n}} \).
\(\rightarrow A \subseteq \bigcup_{n=0}^\infty R_n \), und \( m_2(A) \leq \sum_{n=0}^\infty m_2(R_n) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\varepsilon}{2^n} = \varepsilon \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n} = \varepsilon \cdot 2 = 2\varepsilon \).
Da \(\varepsilon > 0\) beliebig ist, folgt
\( m_2(A) = 0 \).
b)
Es sei \( f(x) := D(x) - \mathbf{1} = \begin{cases}-1, & x \in \mathbb{Q} \cap [-\pi, \pi], \\0, & x \in ([-\pi, \pi] \setminus \mathbb{Q}).\end{cases} \)
Dann ist ja
\( N := \{ x \mid f(x) \neq 0 \} = \mathbb{Q} \cap [-\pi, \pi] \). Da \(\mathbb{Q}\) abzählbar ist, hat es Lebesgue-Maß
\( m(N) = 0 \).
Berechne die \(L^2\)-Norm:
\( \|f\|_2^2 = \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx = \int_N |f(x)|^2 \, dx + \int_{N^c} |f(x)|^2 \, dx \).
Auf \(N\) gilt \(f(x) = -1\), auf \(N^c\) gilt \(f(x) = 0\), somit
\( \|f\|_2^2 = \int_N 1 \, dx + \int_{N^c} 0 \, dx = m(N) = 0 \).
\( \rightarrow \|D - \mathbf{1}\|_2 = \sqrt{0} = 0 \).
