Ist folgende Menge offen/abgeschlossen?

Question

Aufgabe: Sei S die Menge aller stetigen Funktionen von [0;1] nach ℝ und sei die Supremumsnorm auf S definiert. Sei weiter P die Menge aller Polynome in S. Zeige oder widerlege folgende Aussagen:

a) P ist eine abgeschlossene Teilmenge von S

b) P ist eine offene Teilmenge von S

Answer 1

Die Taylorpolynome von \(\mathrm{e}^x\) liegen in \(P\). Also ist \(P\) nicht abgeschlossen.

Es gilt \(\left\Vert x - \left(x + \varepsilon\sin x\right)\right\Vert _\infty < \varepsilon\) für jedes \(\varepsilon > 0\). Also ist \(P\) nicht offen.