Menge offen und abgeschlossen - kleine Verständnisfrage

Question 1

Aufgabe:

Sei (X,d) ein metrischer Raum und M Teilmenge von X.

Es ist A abgeschlossen und das Komplement von A folglich offen.

Kann das Komplement von A dann abgeschlossen sein?

Ich behaupte nein. Aber es gibt doch auch Mengen die offen UND abgeschlossen sind, weshalb kann das hier nicht der Fall sein?

Question 2

Kann das Komplement von A dann abgeschlossen sein?

Warum nicht?

\(A=X\) ist abgeschlossen und \(X\backslash A=X\backslash X=\emptyset\) ist ebenfalls

abgeschlossen.

In nichtzusammenhängenden Räumen mit endlich vielen

Zusammenhangskomponente sind die

Zusammenhangskomponenten sowohl offen

als auch abgeschlossen, was dann auch für ihre

Komplemente gilt. Betrachte den Raum \([1,2]\cup [3,4]\)

mit der Teilraumtopologie.

Question 3

Ich danke dir:)

In dem Fall ist immer die Menge selbst (hier X) und ∅ offen und gleichzeitig abgeschlossen. Gibt es noch andere Fälle in metrischen Räumen?

Question 4

Habe meine Antwort ergänzt.

ermanus · Answer 1 · 2023-02-23T13:46:50+0000

Kann das Komplement von A dann abgeschlossen sein?

Warum nicht?

\(A=X\) ist abgeschlossen und \(X\backslash A=X\backslash X=\emptyset\) ist ebenfalls

abgeschlossen.

In nichtzusammenhängenden Räumen mit endlich vielen

Zusammenhangskomponente sind die

Zusammenhangskomponenten sowohl offen

als auch abgeschlossen, was dann auch für ihre

Komplemente gilt. Betrachte den Raum \([1,2]\cup [3,4]\)

mit der Teilraumtopologie.

Ich danke dir:)
In dem Fall ist immer die Menge selbst (hier X) und ∅ offen und gleichzeitig abgeschlossen. Gibt es noch andere Fälle in metrischen Räumen? — Mathestudent100, 23 Feb 2023

1 Antwort