Warum ist folgende Aussage wahr?

Question

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum und sei (A_i)_i∈I eine Kette von Teilmengen von V: es gilt für alle i,j ∈I entweder A_i⊆A_j oder umgekehrt. Eine wahre Aussage ist: "Wenn jede der Mengen der Kette eine Basis ist, so ist auch deren Durchschnitt eine Basis."

Problem/Ansatz:

Wieso ist der Durchschnitt wieder eine Basis, denn zum Beispiel stimmt folgendes ja nicht: "Wenn jede der Mengen ein Erzeugendensystem ist, so ist auch deren Durchschnitt ein ES." Und die Basis ist ja ein linear. unabh. ES

Answer 1

"Wenn jede der Mengen der Kette eine Basis ist, so ist auch deren Durchschnitt eine Basis."

Sei \(v\in V\).

Seien \(n\in \mathbb{N}\), \(p\in I\), \(v_1, \dots, v_n \in A_p\) paarweise verschieden und \(\alpha_1, \dots, \alpha_n \in K\) mit

        \(v = \sum\limits_{i=1}^n\alpha_iv_i\).

Angenommen \(q\in I\) mit \(A_q\subseteq A_p\) und \(v_n\notin A_q\). Dann ist \(v\) nicht im Erzeugnis von \(A_q\), weil die Darstellung von \(v\) als Linearkombination aus \(A_p\) eindeutig ist und \(v_n\) dazu in \(A_q\) nicht zur Verfügung steht. Somit wäre \(A_q\) keine Basis von \(V\).

Also ist \(\{v_1, \dots, v_n\} \subseteq A_i\) für jedes \(i\in I\).

Somit ist \(\{v_1, \dots, v_n\}\subseteq \bigcap\limits_{i\in I}A_i\).

Also kann jedes \(v\in V\) als Linearkombination aus \(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\) dargestellt werden.

"Wenn jede der Mengen ein Erzeugendensystem ist, so ist auch deren Durchschnitt ein ES."

Das habe ich nicht genauer untersucht. Ich könnte mir aber vorstellen, dass die fehlende Eindeutigkeit der Darstellung hier einen Strich durch die Rechnung macht.

Comments

zum Beispiel stimmt folgendes ja nicht: "Wenn jede der Mengen ein Erzeugendensystem ist, so ist auch deren Durchschnitt ein ES."

Ich bin an dem Beweis interessiert. Würdest du den hier mal kurz zusammenfassen?

Ich habe herausgefunden, dass \(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\) abzählbar sein kann obwohl jedes \(A_i\) überabzählbar ist. Aber meine \(A_i\) sind keine Basen des selben Vektorraumes.