Vollständige Induktion mit 2 Summen

Question

Hallo Leute,

Ich arbeite gerade an Aufgaben mit vollständiger Induktion und bin dabei auf das gestoßen:

\( \left(\sum \limits_{i=1}^{n} i\right)^{2}=\sum \limits_{i=1}^{n} i^{3} \)

Ich kenne die Schritte bei einer vollständigen Induktion und hatte bisher keine Probleme. Nun sitze ich seit Stunden an dieser Aufgabe und haben keine erdenklichen Fortschritte gemacht. Den Induktionsanfang habe ich hinbekommen, doch schwierig wird es für mich in den Induktionsschluss.

Answer 1

Hier der Induktionsschritt \(n\rightarrow n+1\): (IV steht unten für Induktionsvoraussetzung)

\( \left(\sum_{i=1}^{n+1}i\right)^2 = \left(n+1 + \sum_{i=1}^{n}i\right)^2\)

\(  =  \left(\sum_{i=1}^{n}i\right)^2 + 2(n+1)\underbrace{\sum_{i=1}^{n}i}_{=\frac 12 n(n+1)} + (n+1)^2\)

\(\stackrel{IV}{=} \sum_{i=1}^{n}i^3 + \underbrace{n(n+1)^2 + (n+1)^2}_{=(n+1)^3}\)

\(=\sum_{i=1}^{n+1}i^3 \)

Fertig.