Hallo!
Es handelt sich wieder um die Substitutionsregel. Habe ich hier richtig gerechnet? Könnte mir bitte jemand eine Rückmeldung geben?
Aufgabe:
o) Bestimme das Integral \( \int \limits_{\mathcal{R}} x-y \mathrm{~d}(x, y) \) wobei \( \mathcal{R} \) das Viereck mit den Eckpunkten \( (0,0) \), \( (2,-2),(4,0) \) und \( (2,2) \) ist. Verwendet man die Transformation
\( \Psi(u, v)=\left(\begin{array}{l} x(u, v) \\ y(u, v) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 u-3 v \\ 2 u+3 v \end{array}\right) \)
entspricht \( \mathcal{R} \) dem Bereich \( \Psi\left(\mathcal{R}^{*}\right) \) mit \( \mathcal{R}^{*}=\left\{(u, v) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq \frac{2}{3}\right\} \)
o) \( \int \limits_{R} x-y d(x, y) \)
\( \psi(u, v)=\left(\begin{array}{l}x(u, v) \\ y(u, v)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 u-3 v \\ 2 u+3 v\end{array}\right) \)
\( R^{*}=((\mu, v) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leqslant \mu \leqslant 1 \)
\( \left.0 \leq v \leq \frac{2}{3}\right\} \)
\( J \psi=\left(\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 2 & 3\end{array}\right) \Rightarrow|\operatorname{det} J \psi|=|6+6|=12 \)
\( I=\int \limits_{0}^{1} \int \limits_{0}^{\frac{2}{3}} 12 \cdot[(2 \mu-3 r)-(2 u+3 r)] d v d u= \)
\( 12 \int \limits_{0}^{1} d u \int \limits_{0}^{\frac{2}{3}}(-6 v) d v=-72 \int \limits_{0}^{1} d u \int \limits_{0}^{\frac{2}{3}} v d v= \)
\( =-72 \cdot[\mu]_{0}^{1} \cdot\left[\frac{\gamma^{2}}{2}\right]_{0}^{\frac{2}{3}}=-72 \cdot\left(\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}{2}\right) \)
\( =-72 \cdot \frac{\frac{4}{9}}{2}=-72 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}=-72 \cdot \frac{2}{9} \)
\( =-\frac{144}{9}=-16 \)
