Wie kann ich hier die Konvergenz und Summe bestimmen?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich hier die Konvergenz und Summe bestimmen?

\(\displaystyle \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2+n}{1-2 n} \)

Problem/Ansatz:

Ich bekomme als Grenzwert (-1/2) raus. In den Lösungen steht 1?

Answer 1

Aloha :)

Die Folge der Summanden konvergiert nicht gegen \(0\):$$a_n=\frac{2+n}{1-2n}=\frac{\frac1n\cdot(2+n)}{\frac1n\cdot(1-2n)}=\frac{\frac2n+1}{\frac1n-2}\to-\frac12$$Damit ist eine notwendige Bedinung für die Konvergenz der Reihe verletzt.

Comments

Das bestätigt auch wolfram:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%282%2Bn%29%2F%281-2n%29+from+1++to+infinit

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Aber wieso steht in den Lösungen 1? Ist 1 die Summe der Reihe? Wie berechne ich die?

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Die Reihe "konvergiert" gegen \((-\infty)\), d.h. die Summe ist nicht gleich \(1\).

Die Musterlösung ist falsch.

Answer 2

Du hast hier wohl den \(\lim a_n\) berechnet und nicht,
wie das Quotientenkriterium sagt, den \(\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\).
Aber deine Rechnung ist nicht nutzlos, sondern sie zeigt,
dass die Reihenglieder keine Nullfolge bilden und damit ein notwendiges
Kriterium für die Konvergenz der Reihe nicht erfüllt ist.
Die Reihe divergiert also.

Comments

Aber wieso steht in den Lösungen 1?

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Was steht denn genau in den Lösungen?
Dass das Quotientenkriterium 1 liefert?