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ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge (an)∞n=1 definiert durch an = \( \sum\limits_{k=n + 1}^{2n} \) k-1
(n ∈ N) monoton wachsend ist und konvergiert.

Zeigen Sie weiter, dass für den Grenzwert a := limn→∞ an
die folgende Abschätzung gilt:
(7/12) ≤ a ≤ (5/6)
Hinweis: Betrachten Sie die Teilfolge (a2n+1)∞n=1.

Was ich bisher weiss ist, dass die Folge monoton wächst (hab ganz viele Werte eingesetzt und nachgeschaut) und es scheint das die Folge wie weiter in der Aufgabe erwähnt gegen etwas kleiner als (5/6) und größer als (7/12) (gegen ca 0.693).

Aber ich hab absolut keinen Plan wie ich aus k-1 zeigen soll, dass es gegen solch einen Wert konvergiert. Ich kann auf jedenfall Konvergenz folgern, da die Folge monoton wächst, also an+1 ≥ an. Aber ich wüsste auch nicht wie ich das Formal korrekt beweisen müsste. Ich denke aber induktiv oder?

Ich erbitte hilfe!

Danke

P.S.: Der Hinweis der Aufgabe hilft mir null weiter.

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Tipp: \(\displaystyle a_{n+1}-a_n=\sum_{k=n+2}^{2n+2}\frac1k-\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n+1}=\frac1{2n+1}-\frac1{2n+2}>0\).

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