Aufgabe:
Bezeichne \( E \) die jeweilige Standardbasis von \( \mathbb{R}^{3} \) bzw. \( \mathbb{R}^{5} \). Gegeben seien die Abbildungen
\( \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{5}: x \mapsto A x \) mit A= \( \begin{pmatrix} 2 & 3&3 \\ 0 & 0&0\\4&0&0\\3&0&0\\2&0&0 \end{pmatrix} \)und \( \psi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \operatorname{Bild}(\varphi): v \mapsto \varphi(v) \)
(a) Für \( 1 \leqq j \leqq 2 \) sei \( A_{j} \) die Matrix, welche aus den ersten \( j \) Spalten \( A \) besteht. Konstruieren Sie eine ONB \( F: f_{1}, f_{2}, f_{3} \) von \( \operatorname{Bild}(\varphi) \operatorname{mit} \operatorname{Bild}\left(A_{1}\right)=\mathrm{L}\left(f_{1}\right) \) und \( \operatorname{Bild}\left(A_{2}\right)=\mathrm{L}\left(f_{1}, f_{2}\right) \).
(b) Nutzen Sie \( \mathrm{L}\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}, \mathrm{e}_{2}, \mathrm{e}_{3}\right)=\mathbb{R}^{5} \), um \( F \) zu einer ONB \( \tilde{F} \) von \( \mathbb{R}^{5} \) zu erweitern.
(c) Bestimmen Sie \( { }_{F} \psi_{E} \) und \( { }_{\tilde{F}} \varphi_{E} \).
Problem/Ansatz:
Hallo, ich bin mir nicht sicher ob ich die a) so richtig verstanden habe.
Ich wollte ein Gram-Schmust machen mit w1= (2,0,4,3,2)^T w2=(3,0,0,0,0)^T
Problem:Ich bekomme kein plausibles f2. Wo liegt der Fehler
f1= |w1|* w1
\( \sqrt{2^2+0^2+4^2+3^2+2^2} \) = √4+16+9+4 = √33
f1= \( \frac{1}{√33} \)* (2,0,4,3,2)^T
zu f2:
f2= w2-<w2|f1>*f1
NR.: <w2|f1>*f1= \( \frac{1}{33} \)*6*(2,0,4,3,2)^T = \( \frac{2}{11} \)* (2,0,4,3,2)^T = \( \frac{1}{11} \) *(4,0,8,6,4)^T
--> \( \frac{1}{11} \)(\( \begin{pmatrix} 33-4\\0-0\\0-8\\0-6\\0-4 \end{pmatrix} \)) = \( \frac{1}{11} \)*(\( \begin{pmatrix} 29\\0\\-8\\-6\\-4 \end{pmatrix} \))
Betrag: (29^2+(-8)^2+(-6)^2+(-4)^2)^1/2 =√ 894
Da wirds jetzt komisch. Irgendwas ist wohl falsch
b) Wie soll ich anhand der zugefügten Einheitsvektoren eine ONB von F^5 ermitteln.
Ich muss die jetzt nicht einfach dazu schreiben und die Aufgabe wäre gelöst, oder?
