Vorab: Die Funktionen sind außerhalb des Nullpunkts aus stetig differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt und daher dort ebenfall stetig differenzierbar.
Zum Nullpunkt: Sei also \(f(x):=x(\cos(1/x)-1)\) für \(x \neq 0\); dann ist
$$|f(x)|=|x||\cos(1/x)-1)| \leq 2|x| \to 0 \text{ für } x \to 0$$
Also ist f im Nullpunkt stetig. Wir betrachten den Differenzenquotient:
$$\frac{1}{h}(f(h)-f(0))=\cos(1/h)-1$$
Der Differenzenquotient konvergiert nicht, also ist f im Nullpunkt nicht differenzierbar
