wieso bleiben 1-p^2 im Nenner stehen?

Question

Aufgabe:

\(\displaystyle \left.\sum \limits_{\mathrm{k}=0}^{\mathrm{n}} \mathrm{p}(1-\mathrm{p})^{\mathrm{k}} \mathrm{p}(1-\mathrm{p})^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{p}^{2}(1-\mathrm{p})^{\mathrm{n}}}{1-\mathrm{p}^{2}}\right] \)

Problem/Ansatz:

Hey, seht ihr vielleicht, wieso da 1-p2 im Nenner stehen bleiben? ist das nicht falsch?

Answer 1

Es gilt

\(\begin{aligned} & \sum\limits _{k=0}^{n}p(1-p)^{k}p(1-p)^{n-k}\\ \text{Kommutativgesetz}\quad= & \sum\limits _{k=0}^{n}pp(1-p)^{k}(1-p)^{n-k}\\ \text{Definition Potenzen}\quad= & \sum\limits _{k=0}^{n}p^{2}(1-p)^{k}(1-p)^{n-k}\\ \text{Distributivgesetz}\quad= &\ p^{2}\sum\limits _{k=0}^{n}(1-p)^{k}(1-p)^{n-k}\\ \text{Potenzgesetz}\quad= &\ p^{2}\sum\limits _{k=0}^{n}(1-p)^{n}\\ \text{Definition Mulziplikation}\quad= &\ p^{2}\cdot (n+1)\cdot(1-p)^{n}\\\neq&\ \frac{p^{2}(1-p)^{n}}{1-p^{2}} \end{aligned}\)

wie man leicht durch Einsetzen von \(p=2\) und \(n=0\) herausfinden kann.

Comments

Super vielen vielen Dank:)