Question

Berechne die Determinante der Matrix
A_t =

5-9t	-4	-2
-4	5-9t	-2
-2	-2	8-9t

∈ R3×3 mit t ∈ R.
Für welche t ∈ R ist At singulär? Bestimme für alle t ∈ R den Rang von A

Die Determinante habe ich mit der Regeln von Sarrus berechnet: det(A_t)= -729t^3+1458t^2-729t

Wie bestimme ich dann den Rang für jedes t? Etwa mit Fallunterscheidung und, wenn ja, welche Fälle genau?

Comments

Rang(At) = 3 <=> det(At) ≠ 0

Also berechne die Nullstellen und untersuche dann zB diese Fälle separat.

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Was meisnt du genau mit "Nullstellen"? Meinst du Zeilenstufenform?

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Nein? Die Determinante ist ein Polynom in der Variablen t. Dessen Nullstellen meine ich.

Answer 1

-729t^3+1458t^2-729t =-729t*(t-1)

Also ist für t≠0 und t≠1 jedenfalls  Rang=3.

Für t=0 bekommst du mit Gauss eine

Matrix mit einer 0-Zeile, also

Rang=2.

Bei t=1 entsteht eine Matrix mit

2 Nullzeilen, also Rang=1.