Basis von Teilräumen

Question

Aufgabe 4
Wir betrachten den folgenden Teilraum
\( U=\left\langle\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 4 \\ -1 \\ -6 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 10 \\ -3 \\ -14 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 0 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -6 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}\right\rangle \leq \mathbb{R}^{5 \times 1} . \)
(a) Bestimmen sie eine Basis \( B \) von \( U \).
(b) Entscheiden Sie für die folgenden Vektoren, ob sie in \( U \) liegen oder nicht und geben sie ggf. die Linearkombination der Basisvektoren aus (a) an, die den Vektor liefert,
\( v=\begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ 0 \\ 13 \\ \frac{11}{2} \end{pmatrix}, \quad w=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -6 \\ \frac{11}{2} \\ 13 \end{pmatrix} \)
Hinweis: Es ist ausdrücklich erlaubt, Aufgabenteile (a) und (b) simultan zu lösen.

Problem/Ansatz:

Ich bin ganz ehrlich, ich sitz seit gestern dran, und versteh einfach nicht was ich da machen soll.

Wär echt super wenn mir jemand das erklären könnte!

Viele Grüße, und vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Löse für v das Gleichungssystem

\(\small{ a*\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)+b*\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+c*\left(\begin{array}{c}0 \\ -2 \\ 4 \\ -1 \\ -6\end{array}\right)+e*\left(\begin{array}{c}1 \\ -5 \\ 10 \\ -3 \\ -14\end{array}\right)+g*\left(\begin{array}{c}4 \\ -3 \\ 0 \\ 2 \\ 8\end{array}\right)+h*\left(\begin{array}{c}3 \\ 6 \\ -6 \\ -4 \\ 8\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}0 \\ -6 \\ 0 \\13 \\ 5,5\end{array}\right)}\)

Comments

Ich verstehe nicht...?

Trotzdem danke :)

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Du sollst v (und dann auch w) als Linearkombination der Basisvektoren erzeugen.

Da die Vektoren fünfdimensional sind, du aber 6 Vektoren in U hast, kann man die Basis bereits mit 5 der 6 Vektoren bilden. Wir wissen leider noch nicht, ob man nur einen bestimmen Vektor oder jeden beliebigen Vektor aus U beim Bilden der Basis "weglassen" kann.

Was ich oben mit "Gleichungssystem" meine, ist

2a+1b+0c+1e+4g+3h=0

0a+1b-2c-5e-3g+6h = -6

usw.

Welchen der Vektoren du für die Basis weglassen kannst wirst du beim Lösen dieses unterbestimmten Systems merken.

PS: Dass ich beim Aufschreiben meiner 6 Parameter den Buchstaben "d" übersprungen habe hat keinen tieferen Sinn. Ich was nur schusselig.

Answer 2

(a) Bestimmen sie eine Basis \( B \) von \( U \).

1. Bestimme ein Erzeugendensystem \(E\) von \(U\).

2. Setze \(x\) auf den Wert \(0\).

3. Für jeden Vektor \(v\in E\):

   Wenn sich \(v\) als Linearkombination von \(E\setminus\{v\}\) darstellen lässt, dann

   1. entferne \(v\) aus \(E\) und

   2. setze \(x\) auf den Wert \(1\)

4. Falls \(x\) den Wert \(1\) hat, dann gehe zurück zu 2.

Die Vektoren, die jetzt noch in \(E\) übrig sind, bilden eine Basis von \(U\)

(b) Entscheiden Sie für die folgenden Vektoren, ob sie in \( U \) liegen oder nicht

Prüfe ob sich \(v\) und \(w\) als Linearkombination von Vektoren aus \(B\) darstellen lassen.

Comments

Alternative Lösung:

Überführe die Matrix

\(\begin{pmatrix}   2&1&0&1&4&3&0&0\\   0&1&-2&-5&-3&6&-6&0\\   0&-2&4&10&0&-6&0&-6\\   -1&0&-1&-3&2&-4&13&\frac{11}{2}\\   2&4&-6&-14&8&8&\frac{11}{2}&13 \end{pmatrix}\)

in Zeilenstufenform \(M'\).

(a) Wähle aus den ersten sechs Spalten von \(M\) diejenigen aus, bei denen in \(M'\) eine neue Stufe anfängt.

(b) Der Vektor liegt genau dann in \(U\), wenn für jede Zeile von \(M'\) gilt: steht in den ersten sechs Spalten der Zeile eine 0, dann steht auch in der Spalte des Vektors eine 0.