Umformung des Funktionsterms und gib die Wertemenge an.

Question

Beschreibe, wie man am Funktionsterm einer quadratischen Funktion erkennen kann, ob sie entweder einen kleinsten oder aber einen größten Funktionswert besitzt. Ermittle diesenWert ggf.durch geeignete Umformung des Funktionsterms und gib die Wertemenge an.
b) \( g: x \mapsto-2 x^{2}+x-3 \)
c) \( h: x \mapsto-3(x-1)^{2}+2 \)
d) \( f: x \mapsto-x^{2}+2 x-8 \)
e) \( g: x \mapsto 1,5 x^{2}+9 x-10 \)
f) \( h: x \mapsto-0,5 x^{2}+3 x+5 \)

Answer 1

b) y= -2(x^2-0,5x+0,25^2+0,25^2)-3

= -2(x-0,25)^2 -3,125

nach x umstellen:

(y+3,125)/-2 = (x-0,25)^2

x-0,25 = ±√(y+3,125)/-2)

x= ±√(y+3,125)/-2) +0,25

x = ±√(y+3,125)/-2) +0,25

x und y vertauschen:

y= ±√(x+3,125)/-2) +0,25

Scheitel S(0,25/-3,125) = Maximum von g(x), nach unten geöffnete Parabel

W = (-oo; 0,25]

Löse den Rest mit der quadratischen Ergänzung

Answer 2

Umformen in die Scheitelpunktsform der Parabel:

\(  y=-2 x^{2}+x-3  |+3 \)

\(  y+3=-2 x^{2}+x |:(-2) \)

\(  \frac{y+3}{-2}= x^{2}-0,5x |+(\frac{0,5}{2})^2 \)

\(  \frac{y+3}{-2}+(\frac{0,5}{2})^2= x^{2}-0,5x+(\frac{0,5}{2})^2 \)

\(  \frac{y+3}{-2}+\frac{1}{16}= (x-\frac{0,5}{2})^2|*(-2) \)

\(  y+3-\frac{1}{8}= -2(x-\frac{0,5}{2})^2\)

\(  y+\frac{23}{8}= -2(x-\frac{0,5}{2})^2\)

\(  y= -2(x-\frac{0,5}{2})^2-\frac{23}{8}\)

Es ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt \(S(0,25|-\frac{23}{8})\)

Wertemenge: \(y≤-\frac{23}{8}\)