Ich nehme mal an, dass Folgendes die Definition von "offen" ist:
$$\R \setminus M \text{ ist offen} \iff \forall x \in \R \setminus M: \quad \exists \epsilon>0:\quad (x-\epsilon,x+\epsilon) \sub \R \setminus M \quad (1)$$
Und gleich brauche ich auch die Verneinung davon:
$$\R \setminus M \text{ ist nicht offen} \iff \exists x \in \R \setminus M: \quad \forall \epsilon>0:\quad (x-\epsilon,x+\epsilon) \not\sub \R \setminus M \quad (2) $$Und
$$ (x-\epsilon,x+\epsilon) \not\sub \R \setminus M \iff (x-\epsilon,x+\epsilon) \cap M \neq \emptyset$$
Zu zeigen ist: M ist folgenabgeschlossen genau dann, wenn \(\R\setminus M\) offen ist.
1. Sei M folgenabgeschlossen: Wenn \(\R\setminus M\) nicht offen wäre (indirekter Beweis), dann existiert ein \(x \in \R\setminus M\) gemäß (2). Wir setzen dort für \( n \in \N\) \(\epsilon=1/n\) und wählen \(x_n \in (x-1/n,x+1/n)\cap M\). Damit haben wir eine Folge \((x_n)\) in M mit \(x_n \to x\). Da M folgenabgeschlossen ist, folgt \(x \in M\). Widerspruch!
2. Sei \(\R \setminus M\) offen: Sei also \((x_n)\) eine Folge in M mit \(x_n \to x\). Wenn \(x \notin M\), dann gäbe es nach (1) ein \(\epsilon\) mit \((x-\epsilon,x+\epsilon) \cap M=\emptyset\). Widerspruch; denn für hinreichen große n ist \(x_n \in (x-\epsilon,x+\epsilon)\)
