Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome vom Grad 3 in F2[X]?

Question

Wie muss man vorgehen, wenn man so eine Frage hat:

Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome vom Grad 3 in F₂[X]?

Answer 1

Ein Polynom vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel, wenn es
keine Nullstelle im Koeffizientenkörper besitzt.

Daher müssen irreduzible Polynome 3-ten Grades die
Gestalt \(X^3+aX^2+bX+1\) besitzen mit \(a,b\in \mathbb{F}_2\).
Es gibt also nur 4 Kandidaten ...

Comments

Kann man dann nur von den normierten Polynomen ausgehen?

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Ja; denn der höchste Koeffizient kann ja nur 1 sein;
denn wenn er 0 wäre, dann hätte das Polynom nicht den Grad 3.

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Und wenn man in F₃ wäre, dann müsste man aber auch die nicht normierten Polynome betrachten?

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Das ist richtig. Aber wenn man ein irreduzibles
normiertes Polynom \(p\) gefunden hat, dann ist auch
\(ap\) irreduzibel für jedes Körperelement \(a\neq 0\).