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Aufgabe:

was ist hier genau gefragt, a von der Integralgrenze zu bestimmen, kann man bitte dazu was sagen ?


Screenshot 2023-02-09 152009.png

Text erkannt:

Berechnen Sie das Integral Ia : =adxx2 I_{a}:=\int \limits_{a}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} in Abhängigkeit vom Parameter a>0 a>0 und nutzen Sie Ia I_{a} für eine geeignete Wahl von a a um eine obere Schranke an S : =k=11k2 S:=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} nachzuweisen. Hinweis: Man kann zum Beispiel die Schranke S2 S \leq 2 nachweisen. Die Wahl einer konkreten Schranke, die Sie nachweisen möchten, ist Ihnen überlassen. Die Abschätzung lässt sich anhand der geometrischen Interpretation des Integrals und der Reihe als Flächen von Bereichen ableiten. Denken Sie an 1k2 \frac{1}{k^{2}} mit k2 k \geq 2 als Fläche des Balkens k1xk k-1 \leq x \leq k , 0y1k2 0 \leq y \leq \frac{1}{k^{2}} im kartesischen Koordinatensystem.

ich wäre dankabar für die Hilfe !

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Zuerst rechnest du a1x2  dx=1a\int_a^{\infty}\frac 1{x^2}\;dx = \frac 1a aus.

Nun sollst du das Integral im Vergleich mit folgender Reihe betrachten:

S=k=11k2S = \sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^2}

Dabei sollst du mit Hilfe des Integrals eine obere Schranke für SS finden.

Da 1x2\frac1{x^2} streng monoton fallend für x>0x> 0 ist erhältst du

S=k=11k2=1+k=2k1k1k2dxS = \sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^2} = 1+ \sum_{\color{blue}{k=2}}^{\infty}\int_{k-1}^{k}\frac1{k^2}dx 1+k=2k1k1x2dx=1+11x2  dx=1+1=2\leq 1+ \sum_{\color{blue}{k=2}}^{\infty}\int_{\color{blue}{k-1}}^{k}\frac1{x^2}dx=1+\int_{\color{blue}{1}}^{\infty}\frac 1{x^2}\;dx = 1+1=2

Damit ist zum Beispiel a=1\boxed{ \color{blue}{a=1} } eine geignete untere Grenze, um eine obere Schranke für SS zu finden.

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adxx2=limbabdxx2=limb[1x]ab=limb(1a1b)\int \limits_{a}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} = \lim\limits_{b\to\infty}\int \limits_{a}^{b} \frac{d x}{x^{2}} = \lim\limits_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_a^b= \lim\limits_{b\to\infty}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).

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